《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

探究1 “数x不小于2”,是指 (B)
A. $ x \leq 2 $ B. $ x \geq 2 $ C. $ x ＜ 2 $ D. $ x ＞ 2 $
探究2 下列不等式变形正确的是 (D)
A. 由 $ a ＞ b $,得 $ a - 2 ＜ b - 2 $ B. 由 $ a ＞ b $,得 $ a ^ { 2 } ＞ b ^ { 2 } $
C. 由 $ a ＞ b $,得 $ | a | ＞ | b | $ D. 由 $ a ＞ b $,得 $ - 2 a ＜ - 2 b $
探究3 把不等式 $ - 2 x ＜ 4 $ 的解集表示在数轴上,正确的是 (A)

探究4 若关于x的不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { x ＞ 2, } \\ { x ＞ m } \end{array} \right. $ 的解集是 $ x ＞ 2 $,则m的取值范围是______m≤2。
探究5 若关于x的方程 $ m x - 1 = 2 x $ 的解为正实数,则m的取值范围是 (C)
A. $ m \geq 2 $ B. $ m \leq 2 $ C. $ m ＞ 2 $ D. $ m ＜ 2 $
探究6 解不等式 $ 2 x - 3 ＜ \frac { x + 1 } { 3 } $,并把解集在数轴上表示出来。

解：3(2x - 3)＜x + 1，
6x - 9＜x + 1，
5x＜10，
x＜2，
∴原不等式的解集为x＜2，
在数轴上表示为：（对应图片位置）
探究7 解不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 1 ＜ x - 3, } \\ { \frac { 1 + x } { 2 } \leq \frac { 1 + 2 x } { 3 } + 1, } \end{array} \right. $ 并写出它的所有整数解。
解：$\left\{ \begin{array}{l} 3x + 1＜x - 3,\quad① \\ \frac{1 + x}{2} \leq \frac{1 + 2x}{3} + 1,\quad② \end{array}\right.$
由①得，x＜ - 2，由②得，x≥ - 5，
∴不等式组的解集是 - 5≤x＜ - 2．
它的所有整数解是 - 5， - 4， - 3．
探究8 某部门公布了一份快餐的信息(如右图)。根据信息,解答下列问题。
(1)求这份快餐中所含脂肪的质量；
解：400×5% = 20（克）．
答：这份快餐中所含脂肪的质量为20克．
(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%,求这份快餐中所含蛋白质的质量；
解：设所含矿物质的质量为x克．
由题意得：x + 4x + 20 + 400×40% = 400，
∴x = 44，
∴4x = 176．
答：所含蛋白质的质量为176克．
(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%,求其中所含碳水化合物质量的最大值。
解：方法一：设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为(380 - 5y)克，
∴4y + (380 - 5y)≤400×85%，
∴y≥40，
∴380 - 5y≤180．
答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．
方法二：设所含矿物质的质量为n克，则n≥(1 - 85% - 5%)×400，
∴n≥40，
∴4n≥160，
∴400×85% - 4n≤180．
答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．
经典题组·新解读
1. 不等关系的表示：生活中有很多问题呈现不等关系,怎样理解“大于”“小于”“不大于”“不小于”“不超过”“不低于”“至多”“至少”等词的含义,说一说它们与不等号“＞”“＜”“≥”“≤”的对应关系。
2. 不等式变形的依据：不等式变形的依据是什么？具体内容是怎样的？易错点在什么地方？
3. 不等式解集的表示：探究3中借形表数,观形读数,这里用到的数学思想是______数形结合思想。数轴上表示不等式的解集需要注意哪些？不等式的解集与方程的解有何不同点？
4. 解答探究4要理解不等式组解集的确定方法,可以归纳为以下四种类型(设 $ a ＞ b $),请在空白处填写出解集。

5. 解答探究5你的思路是怎样的？怎样用数学式子表示“解为正实数”？
6. 解一元一次不等式：探究6考查一元一次不等式的解法以及在数轴上表示解集的方法。解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是：______当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。探究7是求不等式(组)的特殊解,特殊解包含在它的解集中,因此,解决此类题的基本思路：$ \left\{ \begin{array} { l } { \text { 先求出 } _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; } \\ { \text { 再根据要求 } _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ \text {. } } \end{array}\text {. } } \right. $不等式（组）的解集；找出特殊解
7. 很多实际问题中存在不等关系,可以通过建立不等式模型转化为数学问题来解决。
8. 探究8分析：
(1)快餐中所含脂肪质量= ______快餐总质量×______脂肪所占百分比；
(2)已知快餐总质量及各成分数量关系,可列出方程求解；
(3)可根据“百分比的和不高于85%”,列出不等式求解。

答案： 探究1 B 探究2 D 探究3 A
探究4 $ m \leq 2 $ 探究5 C
探究6 $ 3 ( 2 x - 3 ) ＜ x + 1 $，
$ 6 x - 9 ＜ x + 1 $，
$ 5 x ＜ 10 $，
$ x ＜ 2 $，
∴原不等式的解集为 $ x ＜ 2 $，
在数轴上表示为：![img alt=探究6]
探究7 $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 1 ＜ x - 3 , \quad ① } \\ { \frac { 1 + x } { 2 } \leq \frac { 1 + 2 x } { 3 } + 1 , \quad ② } \end{array} \right. $
由①得，$ x ＜ - 2 $，由②得，$ x \geq - 5 $，
∴不等式组的解集是 $ - 5 \leq x ＜ - 2 $．
它的所有整数解是 $ - 5 $，$ - 4 $，$ - 3 $．
探究8 （1）$ 400 × 5 \% = 20 $（克）．
答：这份快餐中所含脂肪的质量为20克．
（2）设所含矿物质的质量为 $ x $ 克．
由题意得：$ x + 4 x + 20 + 400 × 40 \% = 400 $，
∴ $ x = 44 $，
∴ $ 4 x = 176 $．
答：所含蛋白质的质量为176克．
（3）方法一：设所含矿物质的质量为 $ y $ 克，则所含碳水化合物的质量为 $ ( 380 - 5 y ) $ 克，
∴ $ 4 y + ( 380 - 5 y ) \leq 400 × 85 \% $，
∴ $ y \geq 40 $，
∴ $ 380 - 5 y \leq 180 $．
答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．
方法二：设所含矿物质的质量为 $ n $ 克，则 $ n \geq ( 1 - 85 \% - 5 \% ) × 400 $，
∴ $ n \geq 40 $，
∴ $ 4 n \geq 160 $，
∴ $ 400 × 85 \% - 4 n \leq 180 $．
答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．