《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

咪咪老师的一节课
咪咪是一位很有经验的老师.小明曾经听过咪咪老师的一节课,感觉咪咪老师的讲解亲切、清楚、透彻,而且喜欢和大家一起讨论、研究、做实验.应小明和同学们的邀请,咪咪老师在暑假期间抽空给他们讲了一节课.
咪咪:老师经常讲"我们班是学校的组成部分,每一个同学的行为,直接影响学校的整体形象."这话大家一听就会明白.学校是一个整体,班级是组成学校的一部分.我们说某某学校的校风正,是指这所学校的每一个班、每一个同学都是好样的,表现非常出色.在整式中也有类似的情形,例如x²y+xy²-x-y,它是由x²y,xy²,-x,-y这四个单项式组成的,x²y,xy²,-x,-y都是它的组成部分,我们所说的整式,实际上包括了整式中的每一个部分.
在这个整式中还有另外一层关系,例如(xy - 1)(x + y)= x²y+xy²-x-y,在这里,整式x²y+xy²-x-y除了可以表示成上面四个单项式的代数和以外,还可以表示成两个多项式xy - 1,x + y的乘积的形式(xy - 1)(x + y).和因数一样,我们把xy - 1,x + y叫做这个整式的因式,每个因式同样是整式的组成部分.很多时候,我们研究一个整式,往往是把它分解因式,来研究它的因式.因此,正确地分解因式对于研究整式就有着重要的意义.今天我们重点研究整式的因式分解.
小明:老师,我们在作业中总是有一些错误,是什么原因呢?
咪咪:原因是多方面的,分析归纳起来要从以下几个方面来把握.首先,我们要清楚地知道分解因式的意义和要求,这是第一步,大家来看下面的问题.
1. 把一个多项式分解成几个整式的积的形式叫做多项式的分解因式.在这里分解的因式一定是整式,而且每个因式是不能再分的,还不能带"尾巴".例如$xy - x + y - 1= xy(1-\frac{1}{y}+\frac{1}{x}-\frac{1}{xy})$就不是分解因式,因为$1-\frac{1}{y}+\frac{1}{x}-\frac{1}{xy}$不是整式;3xy - 3xz + 9xyz= 3(xy - xz + 3xyz)也不是分解因式,因为$xy - xz + 3xyz$还可以继续分解;同样x²-2x + 4= (x - 1)²+3仍然不是分解因式,因为结果不是几个整式的积的形式.
2. 可根据上述分解因式的意义和要求,结合平时的理解,试试完成下面的填空.
(1)m(x - y)-n(x - y)中各项的公因式是(x - y),将它分解的结果是(x - y)(m - n);
(2)1 - a²= (-1 - a)(a - 1);
(3)49x²+14xy+y²= (7x+ y)²;
(4)25x²+30xy+9y²= (5x + 3y)²;
(5)m⁴-16= (m²+4)(m²-4)= (m²+4)(m +2)(m - 2).
其次,要研究因式分解的方法,掌握这些方法,就能顺利地完成作业了.
3. 目前我们学习的因式分解的方法主要有两种,即提公因式法和公式法.我们把多项式各项中的公因式"提到"括号外面来分解因式的方法叫做提公因式法;利用乘法公式来分解因式的方法,叫做公式法.
掌握了分解因式的基本方法,我们就可以做简单的因式分解问题了.下面分别是小明、小燕、小刚、小芳四位同学做分解因式题目的过程,他们做得如何?你来评判一下.
小明:
4. -3aⁿ⁻¹+6aⁿ-12aⁿ⁺¹.
解:-3aⁿ⁻¹+6aⁿ-12aⁿ⁺¹
=-3aⁿ(a⁻¹-2 + 4a).
小燕:
5. (1)2(x - y)-4(x - y)²;
解:2(x - y)-4(x - y)²
=2(x - y)[1 - 2(x - y)]
=2(x - y)(1 - 2x - 2y).
公因式并不一定都是单项式,也有多项式,只有认真分析,找准公因式,分解因式才不会错.
(2)(m - n)(a²-1)-(n - m)(a²+1).
解:原式=(m - n)(a²-1 - a²-1)
=2(n - m).
小燕也出现了问题.
小刚:
6. (1)(1 - a)mn - a + 1; (2)a²-4(a - 1).
解:(1)(1 - a)mn - a + 1 解:a²-4(a - 1)
=(1 - a)mn+(1 - a) =a²-4a + 4
=(1 - a)(mn + 1). =(a - 2)².
小刚做得很好!
小芳:
7. (1)x²(a - 1)+y²(1 - a); (2)4a²b²-(a²+b²)².
咪咪:其实大家做得都很好,在这里有一个问题,那就是哪些地方出现问题最多?为什么?这里面的关键是我们是否理解了,而理解是要经历实践并进行分析、比较、感悟等过程的.下面的例子,我们一起来讨论,看对我们有哪些帮助.
结构复杂的因式分解,我们可采用灵活的方法,比如将某两项结合起来组成一个(或几个)整体,我们把这种方法叫做分组分解法.
因式分解:2x³+x²-8x - 4.
解:2x³+x²-8x - 4
=(2x³+x²)-(8x + 4)
=x²(2x + 1)-4(2x + 1)
=(2x + 1)(x²-4)
=(2x + 1)(x - 2)(x + 2).
8. 仿照上面的过程试着对下面两道题进行因式分解.
(1)x²+5y - xy - 5x; (2)a²-4(a - 1).
解:(1)x²+5y - xy - 5x 解:a²-4(a - 1)
=(x²-xy)-(5x - 5y) =a²-4a + 4
=x(x - y)-5(x - y) =(a - 2)².
=(x - y)(x - 5).
(2)1 - x²-y²+2xy
解:1 - x²-y²+2xy
=1-(x²-2xy + y²)
=1-(x - y)²
=(1 + x - y)(1 - x + y).
我们再看看下面的问题,这些问题可以培养大家的想象力和分析判断能力.
9. (1)找出5⁸-1在20～30之间的两个因数,这两个数是 (B)
A. 22和24 B. 24和26
C. 26和28 D. 25和27
(2)如果x²+mx + n可分解为(x + 5)(x - 3),那么m,n的值应该是 (A)
A. 2,-15 B. -2,-15
C. 2,15 D. -2,15
小明:老师,我们学习因式分解有哪些用处?
咪咪:用处可多了!首先是简化计算,有些数的计算用通用的方法计算是很麻烦的,还容易出错,利用因式分解进行计算,不但简便,还避免了许多人为的错误,我们不妨一起来做下面的计算.
10. (1)0.73×32-$\frac{8}{25}$×63;
解:0.73×32-$\frac{8}{25}$×63
=0.73×32 - 0.32×63
=0.32×(73 - 63)
=3.2
(2)(3×2ⁿ⁺³-2×2ⁿ⁺²)÷2ⁿ⁺²;
解:(3×2ⁿ⁺³-2×2ⁿ⁺²)÷2ⁿ⁺²
=(3×2ⁿ⁺²×2-2×2ⁿ⁺²)÷2ⁿ⁺²
=(2ⁿ⁺²(6 - 2))÷2ⁿ⁺²
=4
(3)(1-$\frac{1}{2²}$)(1-$\frac{1}{3²}$)(1-$\frac{1}{4²}$)×…×(1-$\frac{1}{99²}$)(1-$\frac{1}{100²}$).
解:(1-$\frac{1}{2²}$)(1-$\frac{1}{3²}$)(1-$\frac{1}{4²}$)×…×(1-$\frac{1}{99²}$)(1-$\frac{1}{100²}$)
=(1-$\frac{1}{2}$)(1+$\frac{1}{2}$)(1-$\frac{1}{3}$)(1+$\frac{1}{3}$)…(1-$\frac{1}{100}$)(1+$\frac{1}{100}$)
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×…×$\frac{99}{100}$×$\frac{101}{100}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{101}{100}$=$\frac{101}{200}$
咪咪:因式分解还可以帮助我们分析和解决问题,我们说5²³-5²¹是120的倍数,你相信吗?请小明来回答这个问题.
小明:∵5²³-5²¹= 5²¹×(5²-1)= 5²¹×24= 5²⁰×120,∴5²³-5²¹是120的倍数.
咪咪:小明解答得很好!前面说过,我们研究一个很大的数的特征时,通常是将它分解因式再研究.下面的问题,请大家回答.
11. 数81⁷-27⁹-9¹³很大,我们说它能被45整除,你认为呢?说说你的理由.
解:81⁷-27⁹-9¹³=(3⁴)⁷-(3³)⁹-(3²)¹³
=3²⁸-3²⁷-3²⁶
=3²⁶(3²-3 - 1)
=3²⁶×5
=3²⁴×9×5=3²⁴×45，所以81⁷-27⁹-9¹³能被45整除.
咪咪:整式也有类似于上述的情况,比如说有些整式的结构与已知条件不一致,我们只有通过因式分解才能解决,请看下面的例子.
12. (1)如果a + b= -2,ab= -15,计算a²b + ab²-a - b.
解:a²b + ab²-a - b=ab(a + b)-(a + b)=(a + b)(ab - 1)，把a + b=-2，ab=-15代入得(-2)×(-15 - 1)=32.
(2)当n是哪些正整数时,n²-8n + 15总是正值?是0?是负值?请大家分别讨论.
解:n²-8n + 15=(n - 3)(n - 5)
当n<3或n>5（n为正整数）时，n²-8n + 15总是正值。
当n = 3或n = 5时，n²-8n + 15 = 0。
当3咪咪:分解因式也有它的绝妙之处,能启发思维,开拓视野,陶冶情操!比如,已知多项式x⁴+mx²+3x + 4含有一个因式x²-x + 4,想一想m是多少?并求出另一个因式.我们试想另一个多项式是什么样子呢!因为已知多项式的最高次项的次数是4,而且系数是1,所以所求的多项式一定含有x²;同样得出它的常数项是1.那么一次项是什么样子呢?我们不妨用Ax来表示,这样我们就可以得出所求多项式的基本形式:x²-Ax + 1.只要确定了A,所有的问题就迎刃而解了.下面大家自行完成.
13. (1)m取何值时,x⁴+mx²+3x + 4含有一个因式x²-x + 4?并求另一个因式.
解:设x⁴+mx²+3x + 4=(x²-x + 4)(x²+ax + 1)
=x⁴+ax³+x²-x³-ax²-x + 4x²+4ax + 4
=x⁴+(a - 1)x³+(5 - a)x²+(4a - 1)x + 4
则$\begin{cases}a - 1 = 0\\m = 5 - a\end{cases}$，解得a = 1，m = 4，另一个因式是x²+x + 1。
(2)如果xy + x - y= 18,符合这个等式的整数x,y的值共有几组?你准备用什么方法解决呢?
解:xy + x - y=18，变形为x(y + 1)-y=18，x(y + 1)-(y + 1)=17，(x - 1)(y + 1)=17，17 = 1×17=(-1)×(-17)
当x - 1 = 1，y + 1 = 17时，x = 2，y = 16；
当x - 1 = 17，y + 1 = 1时，x = 18，y = 0；
当x - 1=-1，y + 1=-17时，x = 0，y=-18；
当x - 1=-17，y + 1=-1时，x=-16，y=-2。共4组。
(3)观察下列计算过程:
3²-1= 9 - 1= 8×1;
5²-3²= 25 - 9= 16= 8×2;
7²-5²= 49 - 25= 24= 8×3;
9²-7²= 81 - 49= 32= 8×4;
……我们注意到任意两个连续奇数的平方差都能被8整除,你认为呢?你能说明一般性吗?(用代数式表示)
解:设两个连续奇数为2n - 1，2n + 1（n为整数）
(2n + 1)²-(2n - 1)²=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1-(2n - 1))=4n×2 = 8n，所以任意两个连续奇数的平方差都能被8整除。

答案： 1. 分解因式的定义及示例分析
- 把一个多项式分解成几个整式的积的形式叫做多项式的分解因式。在这里分解的因式一定是整式，而且每个因式是不能再分的，还不能带“尾巴”。
$xy - x + y - 1 = xy(1-\frac{1}{y}+\frac{1}{x}-\frac{1}{xy})$不是分解因式，因为$1-\frac{1}{y}+\frac{1}{x}-\frac{1}{xy}$不是整式。
$3xy - 3xz + 9xyz = 3(xy - xz + 3xyz)$不是分解因式，因为$xy - xz + 3xyz$还可以继续分解。
$x^{2}-2x + 4=(x - 1)^{2}+3$仍然不是分解因式，因为结果不是几个整式的积的形式。
2. 填空
-
(1) $m(x - y)-n(x - y)$中各项的公因式是$(x - y)$，将它分解的结果是$(x - y)(m - n)$。
-
(2) $1 - a^{2}=( - 1 - a)(a - 1)$。
-
(3) $49x^{2}+14xy + y^{2}=(7x + y)^{2}$。
-
(4) $25x^{2}+30xy + 9y^{2}=(5x + 3y)^{2}$。
-
(5) $m^{4}-16=(m^{2}+4)(m^{2}-4)=(m^{2}+4)(m + 2)(m - 2)$。
3. 因式分解的方法
- 目前我们学习的因式分解的方法主要有两种，即提公因式法和公式法。我们把多项式各项中的公因式“提到”括号外面来分解因式的方法叫做提公因式法；利用乘法公式来分解因式的方法，叫做公式法。
4. 小明的错误分析
- 小明错在公因式提取错误。
- 正确过程：
解：$-3a^{n - 1}+6a^{n}-12a^{n + 1}$
$=-3a^{n - 1}(1 - 2a+4a^{2})$
5. 小燕的错误分析
-
(1) $2(x - y)-4(x - y)^{2}$
解：$2(x - y)-4(x - y)^{2}$
$=2(x - y)[1 - 2(x - y)]$
$=2(x - y)(1 - 2x + 2y)$（小燕去括号错误）
-
(2) $(m - n)(a^{2}-1)-(n - m)(a^{2}+1)$
解：原式$=(m - n)(a^{2}-1)+(m - n)(a^{2}+1)$
$=(m - n)(a^{2}-1+a^{2}+1)$
$=2a^{2}(m - n)$（小燕提取公因式错误）
8. 因式分解
-
(1) $x^{2}+5y - xy - 5x$
解：$x^{2}+5y - xy - 5x$
$=(x^{2}-xy)-(5x - 5y)$
$=x(x - y)-5(x - y)$
$=(x - y)(x - 5)$
-
(2) $1 - x^{2}-y^{2}+2xy$
解：$1 - x^{2}-y^{2}+2xy$
$=1-(x^{2}-2xy + y^{2})$
$=1-(x - y)^{2}$
$=(1 + x - y)(1 - x + y)$
9. 选择题
-
(1) $5^{8}-1=(5^{4}+1)(5^{4}-1)=(5^{4}+1)(5^{2}+1)(5^{2}-1)=(5^{4}+1)×26×24$，所以$5^{8}-1$在$20\sim30$之间的两个因数是$24$和$26$，答案选B。
-
(2) $(x + 5)(x - 3)=x^{2}+2x-15$，所以$m = 2$，$n=-15$，答案选A。
10. 计算
-
(1) $0.73×32-\frac{8}{25}×63$
$=0.73×32 - 0.32×63$
$=0.32×(73 - 63)$
$=3.2$
-
(2) $(3×2^{n + 3}-2×2^{n + 2})÷2^{n + 2}$
$=(3×2^{n + 2}×2-2×2^{n + 2})÷2^{n + 2}$
$=(2^{n + 2}(6 - 2))÷2^{n + 2}$
$=4$
-
(3) $(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})×\cdots×(1-\frac{1}{99^{2}})(1-\frac{1}{100^{2}})$
$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})\cdots(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\cdots×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}$
$=\frac{1}{2}×\frac{101}{100}=\frac{101}{200}$
11. 数的整除性
- $81^{7}-27^{9}-9^{13}=(3^{4})^{7}-(3^{3})^{9}-(3^{2})^{13}$
$=3^{28}-3^{27}-3^{26}$
$=3^{26}(3^{2}-3 - 1)$
$=3^{26}×5$
$=3^{24}×9×5=3^{24}×45$，所以$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被$45$整除。
12. 整式计算与讨论
-
(1) $a^{2}b + ab^{2}-a - b=ab(a + b)-(a + b)=(a + b)(ab - 1)$，把$a + b=-2$，$ab=-15$代入得$(-2)×(-15 - 1)=32$。
-
(2) $n^{2}-8n + 15=(n - 3)(n - 5)$
当$n\lt3$或$n\gt5$（$n$为正整数）时，$n^{2}-8n + 15$总是正值。
当$n = 3$或$n = 5$时，$n^{2}-8n + 15 = 0$。
当$3\lt n\lt5$（$n$为正整数）时，$n^{2}-8n + 15$是负值。
13. 综合问题
-
(1) 设$x^{4}+mx^{2}+3x + 4=(x^{2}-x + 4)(x^{2}+ax + 1)$
$=x^{4}+ax^{3}+x^{2}-x^{3}-ax^{2}-x + 4x^{2}+4ax + 4$
$=x^{4}+(a - 1)x^{3}+(5 - a)x^{2}+(4a - 1)x + 4$
则$\begin{cases}a - 1 = 0\\m = 5 - a\end{cases}$，解得$a = 1$，$m = 4$，另一个因式是$x^{2}+x + 1$。
-
(2) $xy + x - y=18$，变形为$x(y + 1)-y=18$，$x(y + 1)-(y + 1)=17$，$(x - 1)(y + 1)=17$，$17 = 1×17=(-1)×(-17)$
当$x - 1 = 1$，$y + 1 = 17$时，$x = 2$，$y = 16$；
当$x - 1 = 17$，$y + 1 = 1$时，$x = 18$，$y = 0$；
当$x - 1=-1$，$y + 1=-17$时，$x = 0$，$y=-18$；
当$x - 1=-17$，$y + 1=-1$时，$x=-16$，$y=-2$。共$4$组。
-
(3) 设两个连续奇数为$2n - 1$，$2n + 1$（$n$为整数）
$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1-(2n - 1))=4n×2 = 8n$，所以任意两个连续奇数的平方差都能被$8$整除。