《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

作品三 利用六边形镶嵌地面。
设计者忘记了画出这个六边形,请你为设计者补上这个六边形____(能画出几种？)。
你认为这些图形能够镶嵌平面吗？在下面的平面直角坐标系内尝试画出镶嵌平面的图形。

设计方案的启示
上面几个设计方案都能达到铺满平面的要求,而且镶嵌后的图案形式活泼。想一想实际生活中用到多边形的地方很多,对于多边形的相关性质我们做一个罗列,以便能够很好地利用它解决实际问题。
1. 从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线,n边形共有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线,一个顶点引出的对角线可以把这个多边形分割成(n-2)个三角形。
2. n边形的内角和公式是(n-2)·180°。
3. 多边形外角和的度数是360°。
4. 利用多边形内角和公式可以方便地计算多边形的内角和,也可以利用它计算多边形的边数。
(1) 18边形的内角和度数是2880°；
(2) 多边形的内角和是1980°时,这个多边形的边数是13；
(3) 三角形的一个外角是110°,与它不相邻的两个内角相等,则这个三角形三个内角的度数分别是70°，55°，55°。
5. 因为多边形的一个内角与它相邻的外角互为邻补角,所以可以利用它计算内角相等的多边形的一个内角的度数。
(1) 多边形的一个外角是36°,则与它相邻的内角的度数是144°；
(2) 多边形的6个外角都相等,则这个六边形的一个内角的度数是120°。
6. 利用一个多边形镶嵌平面,要看有公共顶点的角的和是不是360°,如果能满足这个条件就能镶嵌平面,否则就不能镶嵌平面。但一定要注意是否满足360°的要求并不取决于多边形的边数,例如,下图这两个六边形,一个可以镶嵌平面,另一个就不能镶嵌平面。

答案： 1. $ ( n - 3 ) $ $ \frac { n ( n - 3 ) } { 2 } $ $ ( n - 2 ) $ 2. $ ( n - 2 ) \cdot 180 ^ { \circ } $ 3. $ 360 ^ { \circ } $ 4.
(1)$ 2880 ^ { \circ } $
(2)13
(3)$ 70 ^ { \circ } $，$ 55 ^ { \circ } $，$ 55 ^ { \circ } $ 5.
(1)$ 144 ^ { \circ } $
(2)$ 120 ^ { \circ } $