《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

1. (1)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是16 cm 或 17 cm.
(2)如果一个等腰三角形的一个内角为80°,则此等腰三角形另外两个角的度数分别为80°,20°或50°,50°.
2. 如图,正方形网格中网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有 (C)
A. 6个
B. 7个
C. 8个
D. 9个
3.
如图,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED= EC.请问:能确定线段AE与DB的大小关系吗?
(1)特殊情况:当点E为AB的中点时,如图①,确定线段AE与DB的大小关系.
答:AE=DB
(2)一般情况下(如图②),确定AE与DB的大小关系,并说明理由.
【点拨】过点E作EF//BC,交AC于点F.
答:AE=BD
(3)如图③,在等边三角形ABC中,点E在AB的延长线上,点D在CB的延长线上,且ED= EC.若△ABC的边长为1,AE= 2,求CD的长.
答:3
经典题组·新解读
1. 等腰三角形与等边三角形
(1)等角对等边.
(2)等腰三角形：两腰相等,两底角相等;顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合;是轴对称图形,对称轴是底边上的高(或顶角平分线或底边上的中线)所在的直线.
(3)在△ABC中,∠B= ∠C,则AB=AC.
(4)如图,在△ABC中,若AC= BC,且CD⊥AB于D,则∠A=∠B,AD=BD,∠ACD=∠BCD= $\frac{1}{2}$∠ACB.
(5) $\left\{ \begin{array} { l } { \text { 三边相等的三角 } } \\ { \text { 形,或有一角是 } } \\ { 60 ^ { \circ } \text { 的等腰三角形 } } \end{array} \right.$ ⇨ 等边三角形 ⇨ 3条对称轴.
2. 线段的垂直平分线
直线m垂直平分CD,点E,F在m上,则EC=ED,FC=FD.
若AB= AC,且EB= EC(A,E不重合),则直线AE是线段BC的垂直平分线.
3. 关于题组的解题思考
第1题(1)需分类讨论,从等腰三角形的边入手,6与5都有可能是腰或底⇨发散思维,还要根据三角形三边关系进行讨论验证⇨批判思维.
第1题(2)从等腰三角形的角入手,会出现两种情形.
第2题的关键是根据题意,画出符合条件的图形,再分类讨论:
①以AB为底,作线段AB的垂直平分线,可得4个格点作为点C;
②以AB为腰,以A为圆心、AB为半径画圆,得2个格点作为点C,同样以B为圆心……
在网格中设计等腰三角形一般利用它的轴对称性.首先要弄清楚题目中有几个限制条件,哪些条件比较容易满足,哪些条件需要变通才能满足.
第3题需综合运用全等三角形、三角形的内角和定理、等边三角形的性质和判定等知识进行推理.
①等边三角形的性质+三角形的内角和⇨∠ABC的度数⇨△DBE的形状;
②利用图中的辅助线找到全等三角形;
③如果E在BA的延长线上,D在线段BC的延长线上呢?
【归纳总结】①分类讨论是一种重要的数学思想,它在等腰三角形中体现得尤为突出,注意正确区分两种情形;
②等腰三角形中等边与等角之间的转化,把含同一未知量的角放到同一个三角形中,利用三角形有关角的性质(如三角形内角和、三角形外角与不相邻内角之间的关系等)求解.

答案： 1.
(1)16 cm 或 17 cm
(2)$80^{\circ },20^{\circ }$或$50^{\circ },50^{\circ }$
2. C
3. 解:
(1)$AE=DB.$
理由如下:
∵E 是 AB 的中点,
$\therefore AE=BE.$
$\because △ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ABC=∠ACB=60^{\circ }.$
又$\because ED=EC,$
$\therefore ∠D=∠ECD=30^{\circ }.$
而$∠DEB=∠ABC-∠D=30^{\circ },$
$\therefore ∠D=∠DEB,$
$\therefore DB=EB,$
$\therefore AE=DB.$
(2)$AE=BD.$
理由如下:
在等边$△ABC$中,
$∠ABC=∠ACB=∠BAC=60^{\circ },$
$AB=BC=AC.$
$\because EF// BC,$
$\therefore ∠AEF=∠AFE=60^{\circ }=∠BAC,$
$\therefore AE=AF=EF,$
$\therefore AB-AE=AC-AF,$
即$BE=CF.$
$\because ∠ABC=∠EDB+∠BED=60^{\circ },$
$∠ACB=∠ECB+∠FCE=60^{\circ },$
又$\because ED=EC,$
$\therefore ∠EDB=∠ECB,$
$\therefore ∠BED=∠FCE,$
$\therefore △DBE\cong △EFC,$
$\therefore DB=EF,$
$\therefore AE=BD.$
(3)
∵等边三角形 ABC 的边长为$1,AE=2,$
$\therefore BE=AE-AB=1,$
$\therefore BE=BC,$
$\therefore ∠AEC=∠DCE.$
$\because ED=EC,$
$\therefore ∠D=∠DCE,$
$\therefore ∠AEC=∠D.$
又$\because ∠DBE=∠ABC=∠A=60^{\circ },$
$\therefore △DEB\cong △ECA,$
$\therefore BD=AE=2,$
$\therefore CD=BD+CB=2+1=3.$