《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

探究1 如图,在方格纸上,选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形。该小正方形的序号是②。

答案： ②

探究2 如图,在△ABC中,AB= BC,将△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到$△A_1BC_1,A_1B$交AC于点$E,A_1C_1$分别交AC,BC于点D,F,有下列结论：①∠CDF= α；$②A_1E= CF；$③DF= FC；④BE= BF。其中正确的有(C)
A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③

答案： C

探究3 如图,将一个钝角△ABC(∠ABC= 120°)绕点B顺时针旋转得到$△A_1BC_1,$使得点C落在AB的延长线上的点$C_1$处$,∠C_1= 20°,$连接$AA_1。$
(1)旋转角的度数是60°；
$(2)∠A_1AC= $20°。

答案：
(1)$60^{\circ}$
(2)$20^{\circ}$

探究4 如图①,将边长为2的正方形ABCD和长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起,构成一个大的长方形ABEF。现将长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D',旋转角为α。
(1)当点D'恰好落在EF边上时,求旋转角α的值；
(2)如图②,点G为BC的中点,且α是锐角,求证：GD'= E'D；
(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,当旋转角α= 135°或315°时,△DCD'与△BCD'全等。

答案：
(1)解:
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至$CE'F'D'$,
$\therefore CD'=CD=2$.
在$Rt\triangle CED'$中,$CD'=2,CE=1$,
$\therefore \angle CD'E=30^{\circ}$.
$\because CD// EF$,
$\therefore \alpha =30^{\circ}$.
(2)证明:
∵G为BC的中点,
$\therefore CG=1$,
$\therefore CG=CE$.
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至$CE'F'D'$,
$\therefore \angle D'CE'=\angle DCE=90^{\circ},CE=CE'$,
$\therefore \angle GCD'=\angle DCE'=90^{\circ}+\alpha,CG=CE'$.
在$\triangle GCD'$和$\triangle E'CD$中,
$\left\{\begin{array}{l} CD'=CD,\\ \angle GCD'=\angle DCE',\\ CG=CE',\end{array}\right.$
$\therefore \triangle GCD'\cong \triangle E'CD(SAS)$,
$\therefore GD'=E'D$.
(3)$135^{\circ}$或$315^{\circ}$
解析:
∵四边形ABCD为正方形,
∴$CB=CD$.
$\because CD=CD'$,
$\therefore \triangle BCD'$与$\triangle DCD'$为腰相等的两个等腰三角形.
当$\angle BCD'=\angle DCD'$时,$\triangle BCD'\cong \triangle DCD'$.
当$\triangle BCD'$与$\triangle DCD'$为钝角三角形时,
$\alpha =\frac {270^{\circ }}{2}=135^{\circ }$,
当$\triangle BCD'$与$\triangle DCD'$为锐角三角形时,
$\alpha =360^{\circ }-\frac {90^{\circ }}{2}=315^{\circ }$,
即旋转角α的值为$135^{\circ}$或$315^{\circ}$时,$\triangle BCD'$与$\triangle DCD'$全等.