《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

探究1 把分式方程$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1-x}{2-x}$= 1的两边同时乘(x-2),约去分母,得 (D)
A.1-(1-x)= 1 B.1+(1-x)= 1
C.1-(1-x)= x-2 D.1+(1-x)= x-2
探究2 解分式方程:$\frac{2}{x+1}$-$\frac{x}{2--1}$= 0.
探究3 若分式方程$\frac{1}{x-2}$+3= $\frac{k-x}{2-x}$有增根,求k的值.
探究4 甲地至乙地的铁路里程为650km.从甲地乘列车A和列车B都可到达乙地,已知A车的平均速度为B车的2倍,且行驶时间比B车少2.5h.
(1)设B车的平均速度是xkm/h,根据题意,可列分式方程为$\frac{650}{x}-\frac{650}{2x}=2.5$;
(2)求A车的平均速度及行驶时间.
探究5 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材.若甲单独整理需要40分钟完工;若甲、乙共同整理20分钟后,乙需再单独整理20分钟才能完工.
(1)若乙单独整理,需要多少分钟完工？
(2)若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工？
! 经典题组.新解读
1.解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程.
2.(1)化分式方程为整式方程的基本方法是:方程两边同乘最简公分母.
(2)检验分式方程根的方法是怎样的？
解题思路:
(3)解分式方程常见的错误有哪些？如何避免？
3.分式方程产生增根的原因是什么？如何判断所求得的根是否是分式
方程的根？
4.探究4属于行程类实际问题,(1)写出路程、时间和速度三者的关系:
路程=速度×时间.
(2)你是选用A车行驶时间比B车少2.5h作为等量关系来列方程的.
5.探究5属于哪种实际问题类型？
(1)由“甲单独整理需要40分钟完工”,可得甲的工作效率为$\frac{1}{40}$;
工作总量是1;
(2)工效问题的基本数量关系是:工作总量=工作效率×工作时间;
(3)问题中的等量关系是:甲20分钟的工作量+乙40分钟的工作量=1;
(4)利用分式方程解决实际问题时,也要注意检验是否有增根,你检验
了吗？
(5)将“甲至少整理多少分钟”转化为数学表达,要用到不等号中的
“≥”还是“≤”？你是如何确定探究5中的不等关系的？

答案： 探究1 D
探究2 方程的两边同乘$(x+1)(x-1)$，得$2(x-1)-x=0$，解得$x=2$。
检验：把$x=2$代入原方程，左边=右边，$x=2$是原方程的解。
所以原方程的解为$x=2$。
探究3 方程两边都乘$x-2$，得$1+3(x-2)=x-k$。
∵原方程有增根，
∴最简公分母$x-2=0$，即$x=2$。
把$x=2$代入整式方程$1+3(x-2)=x-k$，得$1+3(2-2)=2-k$，解得$k=1$，
∴$k$的值为1。
探究4 （1）$\frac{650}{x}-\frac{650}{2x}=2.5$
（2）解方程$\frac{650}{x}-\frac{650}{2x}=2.5$，得$x=130$。
经检验，$x=130$是原分式方程的解，且符合题意，则$2x=260$，$650÷260=2.5$。
答：A车的平均速度是$260km/h$，行驶的时间是$2.5h$。
探究5 （1）设乙单独整理，需要$x$分钟完工。
根据题意得：$\frac{20}{40}+\frac{20+20}{x}=1$，解得$x=80$。
经检验，$x=80$是原分式方程的解且符合题意。
答：乙单独整理80分钟完工。
（2）设甲整理$y$分钟完工。
根据题意，得$\frac{30}{80}+\frac{y}{40}≥1$，解得$y≥25$。
答：甲至少整理25分钟完工。