《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

14. 请你从三个整式$x^{2}-1,x^{2}+2x+1,x^{2}+x$中,任意选择两个,将其中一个作为分子,另一个作为分母组成一个分式,并将这个分式进行化简,再求当$x= 2$时分式的值。

答案： 答案不唯一.选择$x^{2}-1$为分子，$x^{2}+2x + 1$
为分母，组成分式$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}$.
$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x + 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^{2}}=\frac{x - 1}{x + 1}$.
将$x = 2$代入$\frac{x - 1}{x + 1}$，得原式$=\frac{1}{3}$.

15. 先化简,再求值：$\frac {x}{x^{2}-1}(\frac {x-1}{x}-2)$,其中$x= 2$。(用两种方法)

答案： 方法一：$\frac{x}{x^{2}-1}(\frac{x - 1}{x}-2)$
$=\frac{x}{x^{2}-1}\cdot\frac{x - 1}{x}-\frac{x}{x^{2}-1}×2$
$=\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{x - 1}{x}-\frac{2x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{1}{x + 1}-\frac{2x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}-\frac{2x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{x - 1 - 2x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{-1 - x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{-(1 + x)}{(x + 1)(x - 1)}$
$=-\frac{1}{x - 1}$.
当$x = 2$时，原式$=-\frac{1}{2 - 1}=-1$.
方法二：$\frac{x}{x^{2}-1}(\frac{x - 1}{x}-2)$
$=\frac{x}{x^{2}-1}(\frac{x - 1}{x}-\frac{2x}{x})$
$=\frac{x}{x^{2}-1}\cdot\frac{x - 1 - 2x}{x}$
$=\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{-1 - x}{x}$
$=\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{-(1 + x)}{x}$
$=-\frac{1}{x - 1}$.
当$x = 2$时，原式$=-\frac{1}{2 - 1}=-1$.