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【例4】如图,有两个村庄A和B被一条河隔开,现在要架一座桥MN,使得由A到B的路程最短,问桥应架在什么地方？(河岸是平行的,桥垂直于两岸)
思路点拨：虽然A,B两点在河的两侧,但连接AB的线段不垂直于河岸。关键在于使AM+BN最短,但AM与BN未连起来,要用线段公理就要想办法使M与N重合起来,利用平行四边形的特征可以实现这一目的。
解：如图,作BE⊥b且BE等于桥的宽度,连接AE交直线a于M,过点M作MN⊥b,垂足为N,线段MN就是桥的位置。
【解析】：根据题意，利用平行四边形性质将$BN$平移，使得$AM$与平移后的线段能构成可利用线段公理（两点之间线段最短）的形式。作$BE\perp b$且$BE$等于桥宽，此时$BE// MN$且$BE = MN$，四边形$MNBE$是平行四边形，$BN = ME$，那么$AM + BN=AM + ME$，根据两点之间线段最短，$AE$最短，所以连接$AE$交直线$a$于$M$，过$M$作$MN\perp b$得到的$MN$就是桥的位置。
【答案】：
思路点拨：虽然A,B两点在河的两侧,但连接AB的线段不垂直于河岸。关键在于使AM+BN最短,但AM与BN未连起来,要用线段公理就要想办法使M与N重合起来,利用平行四边形的特征可以实现这一目的。
解：如图,作BE⊥b且BE等于桥的宽度,连接AE交直线a于M,过点M作MN⊥b,垂足为N,线段MN就是桥的位置。
【解析】：根据题意，利用平行四边形性质将$BN$平移，使得$AM$与平移后的线段能构成可利用线段公理（两点之间线段最短）的形式。作$BE\perp b$且$BE$等于桥宽，此时$BE// MN$且$BE = MN$，四边形$MNBE$是平行四边形，$BN = ME$，那么$AM + BN=AM + ME$，根据两点之间线段最短，$AE$最短，所以连接$AE$交直线$a$于$M$，过$M$作$MN\perp b$得到的$MN$就是桥的位置。
【答案】：
作$BE\perp b$且$BE$等于桥的宽度，连接$AE$交直线$a$于$M$，过点$M$作$MN\perp b$，垂足为$N$，线段$MN$就是桥的位置。
答案：
【解析】：根据题意，利用平行四边形性质将$BN$平移，使得$AM$与平移后的线段能构成可利用线段公理（两点之间线段最短）的形式。作$BE\perp b$且$BE$等于桥宽，此时$BE// MN$且$BE = MN$，四边形$MNBE$是平行四边形，$BN = ME$，那么$AM + BN=AM + ME$，根据两点之间线段最短，$AE$最短，所以连接$AE$交直线$a$于$M$，过$M$作$MN\perp b$得到的$MN$就是桥的位置。
【答案】：作$BE\perp b$且$BE$等于桥的宽度，连接$AE$交直线$a$于$M$，过点$M$作$MN\perp b$，垂足为$N$，线段$MN$就是桥的位置。
【答案】：作$BE\perp b$且$BE$等于桥的宽度，连接$AE$交直线$a$于$M$，过点$M$作$MN\perp b$，垂足为$N$，线段$MN$就是桥的位置。
【活用5】如图,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径AMNB最短的是(假定河的两岸是平行直线,桥要与河岸垂直)(
D
)
答案：
[活用5]D
解析:根据垂线段最短，MN⊥直线a(或直线b),只要AM+BN最短就行,如图,过A作河岸α的垂线AH,垂足为H,在射线AH上取点I,使AI等于河宽.连接IB交河的b岸于N,作MN垂直于河岸交a岸于M点，所得MN即为所求.故选D.
[活用5]D
解析:根据垂线段最短，MN⊥直线a(或直线b),只要AM+BN最短就行,如图,过A作河岸α的垂线AH,垂足为H,在射线AH上取点I,使AI等于河宽.连接IB交河的b岸于N,作MN垂直于河岸交a岸于M点，所得MN即为所求.故选D.
6×6数独
第一行：
第二行：
第三行：
第四行：
第五行：
第六行：
第一行：
1
、6
、2
、5
、3
、4
；第二行：
5
、3
、4
、2
、1
、6
；第三行：
6
、2
、5
、3
、4
、1
；第四行：
4
、1
、3
、1
、6
、2
；第五行：
3
、6
、2
、4
、5
、1
；第六行：
2
、5
、1
、3
、6
、4
。
答案：
【解析】：这是一个$6×6$的数独问题，数独规则是每行、每列以及每个$2×3$的宫内数字$1 - 6$不重复。
从已有的数字入手，先看行、列和宫内出现数字较多的位置。
第一行，已有$3$、$4$，结合其他行和列以及宫内的数字，可推出第一行依次为$1$、$6$、$2$、$5$、$3$、$4$；
第二行，已有$5$、$2$、$1$、$6$，可推出第二行空缺处为$3$、$4$；
第三行，已有$2$、$5$、$4$，可推出第三行依次为$6$、$2$、$5$、$3$、$4$、$1$；
第四行，已有$3$、$1$，可推出第四行依次为$4$、$3$、$3$、$1$、$6$、$2$；
第五行，已有$6$、$2$、$4$，可推出第五行依次为$3$、$6$、$2$、$4$、$5$、$1$；
第六行，已有$5$、$1$、$3$，可推出第六行依次为$2$、$5$、$1$、$3$、$6$、$4$。
【答案】：
第一行：$1$、$6$、$2$、$5$、$3$、$4$；
第二行：$5$、$3$、$4$、$2$、$1$、$6$；
第三行：$6$、$2$、$5$、$3$、$4$、$1$；
第四行：$4$、$1$、$3$、$1$、$6$、$2$；
第五行：$3$、$6$、$2$、$4$、$5$、$1$；
第六行：$2$、$5$、$1$、$3$、$6$、$4$。
从已有的数字入手，先看行、列和宫内出现数字较多的位置。
第一行，已有$3$、$4$，结合其他行和列以及宫内的数字，可推出第一行依次为$1$、$6$、$2$、$5$、$3$、$4$；
第二行，已有$5$、$2$、$1$、$6$，可推出第二行空缺处为$3$、$4$；
第三行，已有$2$、$5$、$4$，可推出第三行依次为$6$、$2$、$5$、$3$、$4$、$1$；
第四行，已有$3$、$1$，可推出第四行依次为$4$、$3$、$3$、$1$、$6$、$2$；
第五行，已有$6$、$2$、$4$，可推出第五行依次为$3$、$6$、$2$、$4$、$5$、$1$；
第六行，已有$5$、$1$、$3$，可推出第六行依次为$2$、$5$、$1$、$3$、$6$、$4$。
【答案】：
第一行：$1$、$6$、$2$、$5$、$3$、$4$；
第二行：$5$、$3$、$4$、$2$、$1$、$6$；
第三行：$6$、$2$、$5$、$3$、$4$、$1$；
第四行：$4$、$1$、$3$、$1$、$6$、$2$；
第五行：$3$、$6$、$2$、$4$、$5$、$1$；
第六行：$2$、$5$、$1$、$3$、$6$、$4$。
缺少什么数？
8
答案：
【解析】：观察这组数字，发现存在这样的规律：第一行$5×4 - 8 = 12$；第二行$6×2 - 7 = 5$（这里$7$可看作是一种计算关联数，按照同样规律第三行计算）；第三行$3×8 - 16 = 8$（这里$16$是根据前面规律类比，$5×4 = 20$，$20 - 8 = 12$；$6×2 = 12$，$12 - 7 = 5$；$3×8 = 24$，$24 - 16 = 8$，通过横向数字运算关系得到）。
【答案】：$8$
【答案】：$8$
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