《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

专题2 巧妙运用截长补短的方法解决问题
例2 如图,在△ABC中,AC＞BC,CD是△ABC的平分线.求证:AC-BC＞AD-BD.

【解析】解决本题的关键是如何把AC-BC与AD,BD联系在一起,结论AC-BC＞AD-BD是线段之间的不等关系,所以考虑利用“三角形两边之和大于第三边”这一性质,如何把这些分散的条件集中到一个三角形里呢?注意到角平分线的对称性,考虑通过角平分线构造全等三角形.在AC上截取CE= BC,连接DE,可证得△CDE≌△CDB,从而将BC,BD转移到CE,DE的位置,这时AC-BC转化成AE,再利用△ADE三边不等关系可解决问题.
【答案】∵AC＞BC,∴可在AC上截取CE= BC,连接DE,如图.

∵CD是△ABC的平分线,∠DCA= ∠DCB.
在△CDE与△CDB中, $\left\{ \begin{array} { l } { C E = C B , ( \text { 已作 } ) } \\ { \angle D C A = \angle D C B , ( \text { 已证 } ) } \\ { C D = C D , ( \text { 公共边 } ) } \end{array} \right.$
∴△CDE≌△CDB(SAS),
∴BC= CE,BD= DE,
∴AC-BC= AC-CE= AE.
在△ADE中,AE＞AD-DE,
∴AC-BC＞AD-BD.
【点拨】本题并没有利用角平分线的性质解题,而是利用角平分线的定义采用截长补短的方法构造全等三角形,将分散的条件转移到一个基本图形中.这种截长补短的方法也是有关角平分线问题中常见的辅助线作法,应予以掌握.

答案：
【答案】
∵AC＞BC,
∴可在AC上截取CE= BC,连接DE,如图.

∵CD是△ABC的平分线,∠DCA= ∠DCB.
在△CDE与△CDB中, $\left\{ \begin{array} { l } { C E = C B , ( \text { 已作 } ) } \\ { \angle D C A = \angle D C B , ( \text { 已证 } ) } \\ { C D = C D , ( \text { 公共边 } ) } \end{array} \right.$
∴△CDE≌△CDB(SAS),
∴BC= CE,BD= DE,
∴AC-BC= AC-CE= AE.
在△ADE中,AE＞AD-DE,
∴AC-BC＞AD-BD.
【点拨】本题并没有利用角平分线的性质解题,而是利用角平分线的定义采用截长补短的方法构造全等三角形,将分散的条件转移到一个基本图形中.这种截长补短的方法也是有关角平分线问题中常见的辅助线作法,应予以掌握.