《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

6. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,0),等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD。
(1)若△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是2个单位长度；若△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是y轴；若△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度可以是120度；
(2)连接AD,交OC于点E,求∠AEO的度数。

答案： 解:
(1)2 y轴 120
(2)
∵等边$\triangle AOC$绕原点O顺时针旋转$120^{\circ}$得到$\triangle DOB$,
∴$OA=OD$.
$\because \angle AOC=\angle BOD=60^{\circ }$,
$\therefore \angle DOC=60^{\circ }$,
即OE为等腰$\triangle AOD$的顶角的平分线,
∴OE垂直平分AD,
$\therefore \angle AEO=90^{\circ }$.

7. 如图,Rt△ABC中,∠C= 90°,将△ABC沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转α度(α＜∠BAC),得到Rt△ADE,其中斜边AE交BC于点F,直角边DE分别交AB,BC于点G,H。
(1)判断∠CAF与∠DAG是否相等,并说明理由。
∠CAF=∠DAG。理由:∵Rt△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转α度(α＜∠BAC),得到Rt△ADE,∴∠BAC=∠EAD。∵∠BAC=∠CAF+∠BAE,∠EAD=∠DAG+∠BAE,∴∠CAF=∠DAG。
(2)求证：△ACF≌△ADG。
证明:∵将△ABC沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转α度(α＜∠BAC),得到Rt△ADE,∴AC=AD,在△ACF和△ADG中,∵∠C=∠D,AC=AD,∠CAF=∠DAG,∴△ACF≌△ADG(ASA)。

答案：
(1)解:$\angle CAF=\angle DAG$.
理由:
∵$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ }$,将$\triangle ABC$沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转α度$(\alpha ＜\angle BAC)$,得到$Rt\triangle ADE$,
$\therefore \angle BAC=\angle EAD$.
$\because \angle BAC=\angle CAF+\angle BAE,\angle EAD= \angle DAG+\angle BAE$,
$\therefore \angle CAF=\angle DAG$.
(2)证明:
∵将$\triangle ABC$沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转α度$(\alpha ＜\angle BAC)$,得到$Rt\triangle ADE$,
$\therefore AC=AD$,
在$\triangle ACF$和$\triangle ADG$中,
$\left\{\begin{array}{l} \angle C=\angle D,\\ AC=AD,\\ \angle CAF=\angle DAG,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACF\cong \triangle ADG(ASA)$.