《2025年学力水平快乐假暑假八年级数学北师大版北京教育出版社》

探究1 如图,已知四边形ABCD是平行四边形.若AF和BE分别是∠DAB和∠CBA的平分线,求证：DF= EC.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠DFA=∠FAB.
∵AF是∠DAB的平分线，
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DA=DF.
同理得出CE=CB，
又
∵DA=CB，
∴DF=EC.

探究2 如图,BD是□ABCD的对角线,点E,F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需添加的一个条件是DE=BF或BE=DF或∠BCE=∠DAF或AE//CF，答案不唯一,请证明你的结论.

答案： DE=BF或BE=DF或∠BCE=∠DAF或AE//CF，答案不唯一.
仅举两例：
添加DE=BF.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF.
又
∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，∠AED=∠CFB，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
添加∠BCE=∠DAF.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADF=∠CBE.
又
∵∠BCE=∠DAF，
∴△ADF≌△CBE.
∴AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴∠AFB=∠CED，
∴AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
以上两种方法的依据都是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

探究3 如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB,CD的中点.
(1)若AD+BC= 12,求EF的最大值；6
(2)若AD= BC(AD与BC不平行),∠PEF= 30°,求∠PFE的度数.30°

答案： （1）
∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=$\frac{1}{2}$BC，PE=$\frac{1}{2}$AD.
∵AD+BC=12，
∴PE+PF=$\frac{1}{2}$(AD+BC)=6.
在△EPF中，EF＜PF+PE=6，当三个中点E，P，F共线时，EF最大，此时EF=PF+PE=6，
∴它的最大值为6.
（2）
∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=$\frac{1}{2}$BC，PE=$\frac{1}{2}$AD.
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠PEF=30°，
∴∠PFE=30°.