《2025年轻松上初中数学升级版浙江教育出版社》

9. 下图中的三个三角形相似,$\triangle A'B'C'$、$\triangle A''B''C''由\triangle ABC$放大所得。

现在请你看图思考两个方面的问题：
(1)角。
$∠A= ∠A'= ∠A'',∠B= ∠B'= ∠B'',∠C= ∠C'= ∠C''$成立吗?
(2)线和面。
①$A'B':AB= B'C':BC= A'C':AC= A'D':AD= $(): (),$\triangle A'B'C'$的面积：$\triangle ABC$的面积= ():()。
②$A''B'':AB= B''C'':BC= A''C'':AC= A''D'':AD= $():(),$\triangle A''B''C''$的面积：$\triangle ABC$的面积= ():()。
确定三角形的面积之比时可参考下图：

想一想：两个相似图形的面积之比与它们对应边的长度之比有怎样的关系?

答案： 【解析】：
(1) 因为相似三角形的对应角相等，所以$∠A = ∠A' = ∠A''$，$∠B = ∠B' = ∠B''$，$∠C = ∠C' = ∠C''$成立。
(2) ①通过数方格可知$A'B'$与$AB$的长度比为$2:1$，根据相似三角形对应边成比例，所以$A'B':AB = B'C':BC = A'C':AC = A'D':AD = 2:1$。相似三角形面积比等于相似比的平方，所以$\triangle A'B'C'$的面积：$\triangle ABC$的面积$= 4:1$。
②通过数方格可知$A''B''$与$AB$的长度比为$3:1$，所以$A''B'':AB = B''C'':BC = A''C'':AC = A''D'':AD = 3:1$。$\triangle A''B''C''$的面积：$\triangle ABC$的面积$= 9:1$。
【答案】：
(1) 成立
(2) ①$2$ $1$ $4$ $1$ ②$3$ $1$ $9$ $1$ 两个相似图形的面积之比等于它们对应边的长度之比的平方。