《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

20. 阅读:如图1,在$\triangle ABC$中,$3∠A+∠B=180^{\circ },BC=8,AC=10$,求AB的长。
小明的思路:如图2,作$BE⊥AC$于点E,在AC的延长线上取点D,使得$DE=AE$,连接BD,易得$∠A=∠D,\triangle ABD$为等腰三角形,由$3∠A+∠B=180^{\circ }$和$∠A+∠ABC+∠BCA=180^{\circ }$,易得$∠BCA=2∠A,\triangle BCD$为等腰三角形,依据已知条件可得AE和AB的长。
解决下列问题:
(1)图2中,$AE=$9,AB=12;
(2)在$\triangle ABC$中,$∠A,∠B,∠C$的对边分别为a,b,c。如图3,当$3∠A+2∠B=180^{\circ }$时,用含a,c的式子表示b。
如图，作$BE⊥AC$于点$E，$在$AC$的延长线上取点$D，$使得$DE = AE，$连接$BD，$
则$BE$是边$AD$的垂直平分线，
因为$AB = BD，$$∠A = ∠D，$
所以$∠A + ∠D + ∠ABD = 180°，$$∠A + ∠ABC + ∠BCA = 180°，$
所以$2∠A + ∠ABC = ∠ACB，$
因为$∠ACB = ∠D + ∠DBC，$
所以$2∠A + ∠ABC = ∠D + ∠DBC，$
因为$∠A = ∠D，$
所以$∠A + ∠ABC = ∠DBC，$
因为$3∠A + 2∠B = 180°$，所以$∠ABC = \frac{180° - 3∠A}{2}$，
则$∠DBC = ∠A + \frac{180° - 3∠A}{2} = 90° - \frac{∠A}{2}$，
$∠DCB = 180° - ∠ACB = 180° - (2∠A + ∠ABC) = 180° - (2∠A + \frac{180° - 3∠A}{2}) = 90° - \frac{∠A}{2}$，
所以$∠DCB = ∠DBC，$
所以$DB = DC = c，$
由题意，得$AD = AC + CD = b + c$，所以$DE = AE = \frac{b + c}{2}$，
所以$EC = AE - AC = \frac{b + c}{2} - b = \frac{c - b}{2}$，
在$Rt△BEC$中，$BE² = BC² - EC²$，
在$Rt△BEA$中，$BE² = BA² - EA²$，
所以$BC² - EC² = BA² - EA²$，即$a² - (\frac{c - b}{2})² = c² - (\frac{b + c}{2})²$，
整理，得$a² - \frac{c² - 2bc + b²}{4} = c² - \frac{b² + 2bc + c²}{4}$，
$4a² - c² + 2bc - b² = 4c² - b² - 2bc - c²$，
$4a² + 2bc = 4c² - 2bc$，
$4bc = 4c² - 4a²$，
$b = \frac{c² - a²}{c}$。

答案：

$(1)9；$$12$　　

$(2)$如图，作$BE⊥AC$于点$E，$在$AC$的延长线上取点$D，$使得$DE = AE，$连接$BD，$　　

则$BE$是边$AD$的垂直平分线，　　

因为$AB = BD，$$∠A = ∠D，$　　

所以$∠3 = ∠A + ∠ABD = 180°，$$∠A + ∠ABC + ∠BCA = 180°，$　　

所以$𔁰∠A + ∠ABC = ∠ACB，$　　

因为$∠ACB = ∠D + ∠DBC，$　　

所以$𔁰∠A + ∠ABC = ∠D + ∠DBC，$　　

因为$∠A = ∠D，$　　

所以$∠A + ∠ABC = ∠DBC，$$BD = AB = c，$即$∠DCB = ∠DBC，$　　

所以$DB = DC = c，$　　

由题意，得$DE = AE=\frac{b + c}{2}，$　　

所以$EC = AE - AC=\frac{b + c}{2}-b=\frac{c - b}{2}，$　　

在$Rt△BEC$中，$BE^{2}=BC^{2}-EC^{2}，$　　

在$Rt△BEC$中，$BE^{2}=BA^{2}-EA^{2}，$　　

所以$BC^{2}-EC^{2}=BA^{2}-EA^{2}，$即$a^{2}-(\frac{c - b}{2})^{2}=c^{2}-(\frac{b + c}{2})^{2}，$　　

整理，得$b=\frac{c^{2}-a^{2}}{c}。$