《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

20. 综合与实践
【问题情境】
在平面直角坐标系中，有不重合的两点$A(x_{1},y_{1})$和$B(x_{2},y_{2})$，若$x_{1}=x_{2}$，则$AB// y$轴，且线段$AB$的长度为$|y_{1}-y_{2}|$；若$y_{1}=y_{2}$，则$AB// x$轴，且线段$AB$的长度为$|x_{1}-x_{2}|$。
【知识应用】
（1）若点$A(-1,1),B(2,1)$，则$AB// x$轴，$AB$的长度为3；
【拓展延伸】
我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$之间的折线距离为$d(M,N)=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$。例如：图1中，点$M(-1,1)$与点$N(1,-2)$之间的折线距离为$d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5$。
【问题解决】
（2）如图2，已知$E(2,0)$，若$F(-1,-1)$，则$d(E,F)=$4；
（3）如图2，已知$E(2,0),G(1,t)$，若$d(E,G)=3$，则$t$的值为2 或 -2；
（4）如图3，已知$E(2,0),H(0,2)$，点$P$是$\triangle EOH$的边上一点，若$d(E,P)=\sqrt{6}$，求点$P$的坐标。

解：① 点$P$在$OE$边上，可设点$P$的坐标为$(x, 0)$，因为$d (E, P) = \sqrt {6}$。所以$| x - 2 | + 0 = \sqrt {6}$，所以$x = 2 + \sqrt {6}$，或$x = 2 - \sqrt {6}$（都不符合题意），② 点$P$在$OH$边上，可设点$P$的坐标为$(0, y)$，因为$d (E, P) = \sqrt {6}$。所以$| 2 - 0 | + | y | = \sqrt {6}$，所以$y = \sqrt {6} - 2$，所以$P (0, \sqrt {6} - 2)$，③ 点$P$在$HE$边上，可设点$P$的坐标为$(m, - m + 2)$，因为$d (E, P) = \sqrt {6}$。所以$| m - 2 | + | - m + 2 | = \sqrt {6}$，$m = 2 - \frac {\sqrt {6}}{2}$，所以$P \left(2 - \frac {\sqrt {6}}{2}, \frac {\sqrt {6}}{2} \right)$ 所以符合条件的点$P$坐标为$P (0, \sqrt {6} - 2)$，$P \left(2 - \frac {\sqrt {6}}{2}, \frac {\sqrt {6}}{2} \right)$。

答案： 解：
(1) 由题意得：$AB$ 的长度为 $| - 1 - 2 | = 3$。故答案为：3。
(2) ① $d (E, F) = | 2 - ( - 1 ) | + | 0 - ( - 1 ) | = 4$。故答案为：4。
(3) 因为 $E (2,0)$，$G (1, t)$，$d (E, G) = 3$，所以 $| 2 - 1 | + | 0 - t | = 3$，解得：$t = \pm 2$。故答案为：2 或 $- 2$。
(4) ① 点 $P$ 在 $OE$ 边上，可设点 $P$ 的坐标为 $(x, 0)$，因为 $d (E, P) = \sqrt {6}$。所以 $| x - 2 | + 0 = \sqrt {6}$，所以 $x = 2 + \sqrt {6}$，或 $x = 2 - \sqrt {6}$（都不符合题意），② 点 $P$ 在 $OH$ 边上，可设点 $P$ 的坐标为 $(0, y)$，因为 $d (E, P) = \sqrt {6}$。所以 $| 2 - 0 | + | y | = \sqrt {6}$，所以 $y = \sqrt {6} - 2$，所以 $P (0, \sqrt {6} - 2)$，③ 点 $P$ 在 $HE$ 边上，可设点 $P$ 的坐标为 $(m, - m + 2)$，因为 $d (E, P) = \sqrt {6}$。所以 $| m - 2 | + | - m + 2 | = \sqrt {6}$，$m = 2 - \frac {\sqrt {6}}{2}$，所以 $P \left(2 - \frac {\sqrt {6}}{2}, \frac {\sqrt {6}}{2} \right)$ 所以符合条件的点 $P$ 坐标为 $P (0, \sqrt {6} - 2)$，$P \left(2 - \frac {\sqrt {6}}{2}, \frac {\sqrt {6}}{2} \right)$。