《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

18. 根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答。
|计算遮雨棚的高度|
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|背景素材|如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为50cm）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（$\sqrt{3}\approx 1.732,\sqrt{2}\approx 1.414$，结果精确到$0.1cm$）|
|问题解决|
|解决方法一|如图，某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格：|
| |油桶层数$n$|1|2|3|4|$\cdots$|
| |遮雨棚高度$y$|50cm|93.3cm|136.6cm|179.9cm|$\cdots$|
| |（1）根据表格内容，求出遮雨棚高度$y$和层数$n$的关系式；|
| |（2）当油桶层数是5层时，这样遮雨棚高度是多少？|
|解决方法二|某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图，$A,B,C$三点都是对应圆的圆心，$AD\perp BC$。|
| |（1）判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由；|
| |（2）求出遮雨棚的高度。|
解决方法一 (1) 由表格可知：一层，遮雨棚高度为 $50 \mathrm{~cm}$，二层，遮雨棚高度为 $(50 + 43.3) \mathrm{cm}$，三层，遮雨棚高度为 $(50 + 43.3 × 2) \mathrm{cm}$，则遮雨棚高度 $y$ 和层数 $n$ 的关系式为：$y = 50 + 43.3 × (n - 1) = 43.3n + 6.7$；
(2) 当油桶层数是 5 层时，遮雨棚高度为：$43.3 × 5 + 6.7 = 223.2 (\mathrm{cm})$；

答案： 解：解决方法一
(1) 由表格可知：一层，遮雨棚高度为 $50 \mathrm{~cm}$，二层，遮雨棚高度为 $(50 + 43.3) \mathrm{cm}$，三层，遮雨棚高度为 $(50 + 43.3 × 2) \mathrm{cm}$，则遮雨棚高度 $y$ 和层数 $n$ 的关系式为：$y = 50 + 43.3 × (n - 1) = 43.3n + 6.7$；
(2) 当油桶层数是 5 层时，遮雨棚高度为：$43.3 × 5 + 6.7 = 223.2 (\mathrm{cm})$；
解决方法二
(1) $\triangle ABC$ 为等边三角形，理由如下：因为 $AB = 4 × 50 = 200 \mathrm{~cm}$，$BC = 4 × 50 = 200 \mathrm{~cm}$，$AC = 4 × 50 = 200 \mathrm{~cm}$，所以 $AB = AC = BC$，所以 $\triangle ABC$ 为等边三角形；
(2) 因为 $AD \perp BC$ 于 $D$，$\triangle ABC$ 为等边三角形，所以 $\angle ADB = 90^{\circ}$，$BD = \frac {1}{2}BC = 100$，在 $\mathrm{Rt} \triangle ABD$ 中，$AB^{2} = BD^{2} + AD^{2}$，所以 $AD = \sqrt {AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt {200^{2} - 100^{2}} = 100 \sqrt {3}$，所以油桶的最高点到地面的距离 $= 25 + 100 \sqrt {3} + 25 = 50 + 100 \sqrt {3} \approx 223.2 (\mathrm{cm})$。答：遮雨棚的高度约为 $223.2 \mathrm{~cm}$。