《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

16. 一种盛饮料的圆柱体杯子,测得内部底面半径为2.5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里(如图所示),杯口外面至少要露出4.6 cm。问吸管至少要做多长。

答案： 【解析】：
本题可先根据圆柱体底面半径和高，利用勾股定理求出杯子内部吸管的最大长度，再加上杯口外面露出的长度，即可得到吸管的最短长度。
- **步骤一：求杯子内部吸管的最大长度**
已知圆柱体杯子内部底面半径$r = 2.5cm$，则底面直径$d = 2r = 2×2.5 = 5cm$，杯子高$h = 12cm$。
杯子内部吸管、底面直径与高构成直角三角形，其中杯子内部吸管为斜边，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$ 为直角边，$c$ 为斜边），可得杯子内部吸管的长度$l$为：
$l=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}=13cm$
- **步骤二：求吸管的最短长度**
已知杯口外面至少要露出$4.6cm$，由步骤一可知杯子内部吸管最大长度为$13cm$，那么吸管至少要做的长度为杯子内部吸管长度加上杯口外面露出的长度，即：
$13 + 4.6 = 17.6cm$
【答案】：$17.6cm$

17. 如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E处,BE与AD交于点F。
(1)试说明:$\triangle ABF\cong \triangle EDF$;
(2)将折叠的图形恢复原状,点F与BC边上的点G正好重合,连接DG,若$AB=6,BC=8$,求DG的长。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$\triangle ABF\cong \triangle EDF$
已知四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质可知$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$，$AB = CD$。
由折叠的性质可得$DE = CD$，$\angle E=\angle C = 90^{\circ}$，所以$AB = DE$，$\angle A=\angle E = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AFB=\angle EFD$（对顶角相等）。
在$\triangle ABF$和$\triangle EDF$中，$\begin{cases}\angle A=\angle E\\\angle AFB=\angle EFD\\AB = DE\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABF\cong \triangle EDF$。
### $(2)$ 求$DG$的长
因为$\triangle ABF\cong \triangle EDF$，所以$BF = DF$。
将折叠的图形恢复原状，点$F$与$BC$边上的点$G$正好重合，则$BF = BG$，$DF = DG$。
设$DG = x$，则$BG = DF = x$，$CG=BC - BG=8 - x$。
在$Rt\triangle DCG$中，根据勾股定理$DC^{2}+CG^{2}=DG^{2}$，已知$AB = CD = 6$，$BC = 8$，代入可得：
$6^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$
展开式子得$36+64 - 16x+x^{2}=x^{2}$
移项可得$16x=36 + 64$
即$16x=100$
解得$x=\frac{25}{4}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{\frac{25}{4}}$