《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

14. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },CD⊥AB$,垂足为点D,$BC=6,AC=8$,求AB,CD的长。

答案： 【解析】：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$。
已知$BC = 6$，$AC = 8$，则$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，即$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× CD$。
$24 = 5CD$，解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】：$AB = 10$，$CD=\frac{24}{5}$。

15. 如图,在四边形ABCD中,$AB=20,AD=15,CD=7,BC=24,∠A=90^{\circ }$。试说明:$∠B+∠D=180^{\circ }$。

答案： 【解析】：
连接$BD$。
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 20$，$AD = 15$，根据勾股定理$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}$，可得$BD^{2}=20^{2}+15^{2}=400 + 225 = 625$，所以$BD = 25$。
又因为$CD = 7$，$BC = 24$，$CD^{2}+BC^{2}=7^{2}+24^{2}=49 + 576 = 625$，所以$CD^{2}+BC^{2}=BD^{2}$。
根据勾股定理逆定理，可得$\angle C = 90^{\circ}$。
因为四边形内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$，即$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D = 360^{\circ}$，把$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$代入可得$90^{\circ}+\angle B+90^{\circ}+\angle D = 360^{\circ}$，化简得$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$。
【答案】：
连接$BD$，在$Rt\triangle ABD$中，由勾股定理得$BD = 25$，又$CD^{2}+BC^{2}=BD^{2}$，所以$\angle C = 90^{\circ}$，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$。