《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

19. 细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题:
$OA_{1}=1$;
$OA_{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2};S_{1}=\frac{1}{2}× 1× 1=\frac{1}{2}$;
$OA_{3}=\sqrt{2+1^{2}}=\sqrt{3};S_{2}=\frac{1}{2}× \sqrt{2}× 1=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$OA_{4}=\sqrt{3+1^{2}}=\sqrt{4};S_{3}=\frac{1}{2}× \sqrt{3}× 1=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\vdots$ $\vdots$
(1)推算出$OA_{10}=$$\sqrt{10}$。
(2)用含$n$($n$是正整数)的等式表示上述面积变化规律;
$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$
(3)求出$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+\cdots +S_{100}^{2}$的值。
$\frac{2525}{2}$

答案： 19.解:
(1)因为OA₁=1,OA₂=$\sqrt{1²+1²}$=$\sqrt{2}$,OA₃=$\sqrt{2+1²}$=$\sqrt{3}$,OA₄=$\sqrt{3+1²}$=$\sqrt{4}$,...所以OAₙ=$\sqrt{n}$,所以OA₁₀=$\sqrt{10}$;故答案为$\sqrt{10}$。
(2)因为S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$,S₂=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,S₃=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,...,所以Sₙ=$\frac{\sqrt{n}}{2}$;
(3)S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀₀²=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{4}$+...+$\frac{100}{4}$=$\frac{1+2+3+..+100}{4}$=$\frac{2525}{2}$。