《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

20. 请根据以下素材,完成探究任务。
|素材1|为提升市民审美品味和高雅文化消费,位于坪山文化聚落的坪山大剧院,每月都会在综合剧场(可容纳1200名观众)上演高品质的若干场剧目。按文化和旅游部的相关规定,剧院等演出场所的上座率$(\frac{\text{观剧人数}}{\text{剧院座位数}}× 100\%)$原则上不得超过75%。|
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|素材2|“每月一剧”惠民计划:为进一步提升辖区居民的幸福感,丰富居民群众的精神文化生活,坪山街道新和社区通过民生微实事项目平台,联合坪山大剧院联手推出惠民观剧活动,辖区居民只需40元即可购买一张惠民票,观看当月上演的一场剧目,数量有限,先购先得!|
|素材3|2024年11月的一场话剧推出A,B两种观赏票价,并参与“每月一剧”惠民购票活动。已知A种票10张、B种票5张、惠民票5张,共需3900元;购买2张B种票比购买1张A种票多出的费用,可购得惠民票2张。|
|问题解决| |
|任务1|据悉,该话剧深受广大市民欢迎,上座人数恰好达到相关规定的上限,则观剧人数有______人。|
|任务2|该话剧A种票价每张______元,B种票价每张______元。|
|任务3|若A种票的持票人数y与B种票的持票人数x满足如图所示函数图象(其中x取正整数)。请写出该场话剧票务收入W与x的函数表达式,求出该场话剧的最大票务收入。|
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[答案]：解:(任务1)设观剧人数为$x$人,则$\frac{x}{1200}×100\% ≤ 75\%$,
解得:$x ≤ 900$,
所以$x$的最大值为:900,
故答案为900;
(任务2)由题意得$\begin{cases}10a + 5b + 5×40 = 3900,\\2b - a = 2×40,\end{cases}$
解得:$\begin{cases}a = 280,\\b = 180。\end{cases}$
故答案为:280180;
(任务3)设$y = kx + b$,
则$\begin{cases}300k + b = 400,\\500k + b = 0,\end{cases}$
解得:$\begin{cases}k = - 2,\\b = 1000,\end{cases}$
所以$y = - 2x + 1000$,
所以$w = 280y + 180x + 40×(900 - x - y) = 280(- 2x + 1000) + 180x + 40(900 - x + 2x - 1000) = - 340x + 276000$,
因为$- 340 ＜ 0$,
所以$w$随$x$的增大而减小,
因为$300 ≤ x ≤ 500$,
所以当$x = 300$时,$w$取最大值,为$- 340×300 + 276000 = 174000$(元),
答:该场话剧的最大票务收入174000元。

答案： 解:(任务1)设观剧人数为$x$人,则$\frac{x}{1200}×100\% ≤ 75\%$,
解得:$x ≤ 900$,
所以$x$的最大值为:900,
故答案为900;
(任务2)由题意得$\begin{cases}10a + 5b + 5×40 = 3900,\\2b - a = 2×40,\end{cases}$
解得:$\begin{cases}a = 280,\\b = 180。\end{cases}$
故答案为:280 180;
(任务3)设$y = kx + b$,
则$\begin{cases}300k + b = 400,\\500k + b = 0,\end{cases}$
解得:$\begin{cases}k = - 2,\\b = 1000,\end{cases}$
所以$y = - 2x + 1000$,
所以$w = 280y + 180x + 40×(900 - x - y) = 280(- 2x + 1000) + 180x + 40(900 - x + 2x - 1000) = - 340x + 276000$,
因为$- 340 ＜ 0$,
所以$w$随$x$的增大而减小,
因为$300 ≤ x ≤ 500$,
所以当$x = 300$时,$w$取最大值,为$- 340×300 + 276000 = 174000$(元),
答:该场话剧的最大票务收入174000元。