《2025年春如金卷课时作业AB本八年级数学上册北师大版》

20. 某中学数学社团的同学,在一次社团活动中遇到了化简二次根式$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$的难题。
【问题解决】
(1)聪明的小明同学思考后说:我的解决思路是将$3-2\sqrt{2}$转化为$(a-b)^{2}$的形式,根据$\sqrt{(a-b)^{2}}=|a-b|$,因为$(\sqrt{2})^{2}+1^{2}=3,2× \sqrt{2}× 1=2\sqrt{2}$,所以$a=$$\sqrt{2}$, $b=$1,则可得到化简。
【学以致用】
(2)请仿照小明的解题思路,化简二次根式$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$;因为5+2$\sqrt{6}$=($\sqrt{3}$)²+2×$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$+($\sqrt{2}$)²=($\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$)²,所以$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$=$\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})²}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$
【知识迁移与拓展】
(3)若$1\leqslant x\leqslant 2$,解方程$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}(x+3)$。因为x+2$\sqrt{x−1}$=($\sqrt{x−1}$+1)²,x−2$\sqrt{x−1}$=($\sqrt{x−1}$−1)²,所以$\sqrt{x+2\sqrt{x−1}}$+$\sqrt{x−2\sqrt{x−1}}$=$\sqrt{(\sqrt{x−1}+1)²}$+$\sqrt{(\sqrt{x−1}-1)²}$=|$\sqrt{x−1}$+1|+|$\sqrt{x−1}$−1|,又因为1≤x≤2，所以$\sqrt{x−1}$−1＜0,方程左侧=$\sqrt{x−1}$+1+1−$\sqrt{x−1}$=2,故方程为$\frac{1}{2}$(x+3)=2,解得:x=1

答案： 20.解:
(1)因为3−2$\sqrt{2}$=($\sqrt{2}$−1)²,所以a=$\sqrt{2}$,b=1,故答案为:$\sqrt{2}$,1;
(2)因为5+2$\sqrt{6}$=($\sqrt{3}$)²+2×$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$+($\sqrt{2}$)²=($\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$)²,所以$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$=$\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})²}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$;
(3)因为x+2$\sqrt{x−1}$=($\sqrt{x−1}$+1)²,x−2$\sqrt{x−1}$=($\sqrt{x−1}$−1)²,所以$\sqrt{x+2\sqrt{x−1}}$+$\sqrt{x−2\sqrt{x−1}}$=$\sqrt{(\sqrt{x−1}+1)²}$+$\sqrt{(\sqrt{x−1}-1)²}$=|$\sqrt{x−1}$+1|+|$\sqrt{x−1}$−1|,又因为1≤x≤2，所以$\sqrt{x−1}$−1＜0,方程左侧=$\sqrt{x−1}$+1+1−$\sqrt{x−1}$=2,故方程为$\frac{1}{2}$(x+3)=2,解得:x=1。