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1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. $ x^{2}+\frac{1}{x}=2 $
B. $ x + 1 = 2 $
C. $ x^{2}+y=2 $
D. $ x^{2}+x=2 $
A. $ x^{2}+\frac{1}{x}=2 $
B. $ x + 1 = 2 $
C. $ x^{2}+y=2 $
D. $ x^{2}+x=2 $
答案：
D
2. 将一元二次方程 $ 3x^{2}=2 + 6x $ 化为一般形式后，常数项为 -2，则一次项系数是( )
A. -6
B. 6
C. -2
D. 2
A. -6
B. 6
C. -2
D. 2
答案：
A
3. 方程 $ x^{2}=2x $ 的根是( )
A. $ x = 2 $
B. $ x = 0 $
C. $ x_{1}=0 $，$ x_{2}=2 $
D. $ x_{1}=0 $，$ x_{2}=-2 $
A. $ x = 2 $
B. $ x = 0 $
C. $ x_{1}=0 $，$ x_{2}=2 $
D. $ x_{1}=0 $，$ x_{2}=-2 $
答案：
C
4. 用配方法解方程 $ x^{2}-4x-7=0 $，下列配方正确的是( )
A. $ (x + 2)^{2}=11 $
B. $ (x - 2)^{2}=11 $
C. $ (x + 4)^{2}=23 $
D. $ (x - 4)^{2}=23 $
A. $ (x + 2)^{2}=11 $
B. $ (x - 2)^{2}=11 $
C. $ (x + 4)^{2}=23 $
D. $ (x - 4)^{2}=23 $
答案：
B
5. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx=c(ac\neq0) $ 的一个实数根为 2025，则方程 $ cx^{2}+bx=a $ 一定有实数根( )
A. $ -\frac{1}{2025} $
B. -2025
C. $ \frac{1}{2025} $
D. 2025
A. $ -\frac{1}{2025} $
B. -2025
C. $ \frac{1}{2025} $
D. 2025
答案：
C
6. 一元二次方程 $ x^{2}+7x-9=0 $ 根的判别式的值为______.
答案：
85
7. [2024 新疆中考]关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+3x + k = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ k $ 的取值范围为______.
答案：
$k\lt\frac{9}{4}$
8. 已知 $ x = -1 $ 是方程 $ x^{2}+ax + 5 = 0 $ 的一个根，则方程的另一个根为______.
答案：
$-5$
9. 已知 $ a $，$ b $ 是方程 $ x^{2}+6x - 2 = 0 $ 的两个根，则 $ a^{2}+7a + b $ 的值为______.
答案：
$-4$
10. 对于两个不相等的实数 $ a $，$ b $，规定 $ \max\{a,b\} $ 表示 $ a $，$ b $ 中的较大值，如：$ \max\{-3,1\}=1 $，则关于 $ x $ 的方程 $ \max\{1,x + 3\}=x^{2}-9 $(其中 $ x + 3\neq1 $)的解为__________.
答案：
$x = 4$或$x = - \sqrt{10}$
11. 解下列方程(每题8分，共32分)：
(1)$ 4x^{2}-12=0 $；
(2)$ x^{2}-4x-3=0 $；
(3)$ x^{2}+6x + 2 = 0 $；
(4)$ x^{2}-3x - 1 = 0 $.
(1)$ 4x^{2}-12=0 $；
(2)$ x^{2}-4x-3=0 $；
(3)$ x^{2}+6x + 2 = 0 $；
(4)$ x^{2}-3x - 1 = 0 $.
答案：
【解析】：
1. 对于方程$4x^{2}-12 = 0$，首先进行移项可得$4x^{2}=12$，然后两边同时除以$4$，得到$x^{2}=3$，根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{3}$。
2. 对于方程$x^{2}-4x - 3 = 0$，使用配方法，先将方程变形为$x^{2}-4x=3$，在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$x^{2}-4x + 4=3 + 4$，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(x - 2)^{2}=7$，再开平方得$x - 2=\pm\sqrt{7}$，移项可得$x=2\pm\sqrt{7}$。
3. 对于方程$x^{2}+6x + 2 = 0$，同样使用配方法，先将方程变形为$x^{2}+6x=-2$，在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$x^{2}+6x + 9=-2 + 9$，根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$(x + 3)^{2}=7$，再开平方得$x + 3=\pm\sqrt{7}$，移项可得$x=-3\pm\sqrt{7}$。
4. 对于方程$x^{2}-3x - 1 = 0$，这里$a = 1$，$b=-3$，$c=-1$，根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\times1\times(-1)=9 + 4 = 13$，然后代入求根公式可得$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$。
【答案】：1.$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$ 2.$x_{1}=2+\sqrt{7}$，$x_{2}=2-\sqrt{7}$ 3.$x_{1}=-3+\sqrt{7}$，$x_{2}=-3-\sqrt{7}$ 4.$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$
1. 对于方程$4x^{2}-12 = 0$，首先进行移项可得$4x^{2}=12$，然后两边同时除以$4$，得到$x^{2}=3$，根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{3}$。
2. 对于方程$x^{2}-4x - 3 = 0$，使用配方法，先将方程变形为$x^{2}-4x=3$，在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$x^{2}-4x + 4=3 + 4$，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(x - 2)^{2}=7$，再开平方得$x - 2=\pm\sqrt{7}$，移项可得$x=2\pm\sqrt{7}$。
3. 对于方程$x^{2}+6x + 2 = 0$，同样使用配方法，先将方程变形为$x^{2}+6x=-2$，在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$x^{2}+6x + 9=-2 + 9$，根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$(x + 3)^{2}=7$，再开平方得$x + 3=\pm\sqrt{7}$，移项可得$x=-3\pm\sqrt{7}$。
4. 对于方程$x^{2}-3x - 1 = 0$，这里$a = 1$，$b=-3$，$c=-1$，根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\times1\times(-1)=9 + 4 = 13$，然后代入求根公式可得$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$。
【答案】：1.$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$ 2.$x_{1}=2+\sqrt{7}$，$x_{2}=2-\sqrt{7}$ 3.$x_{1}=-3+\sqrt{7}$，$x_{2}=-3-\sqrt{7}$ 4.$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$
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