《2025年活页过关练习西安出版社九年级数学上册人教版》

12. (16分)[2024滨州中考]春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为2000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系($ 30 \leq x \leq 80 $,且x是整数),部分数据如下表所示:
|电影票售价x(元/张)|40|50|
|----|----|----|
|售出电影票数量y(张)|164|124|
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式;
(3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大?最大利润是多少?

答案： 【解析】：
1. 设$y$与$x$之间的函数关系式为$y = kx + b$（$k\neq0$），将$\begin{cases}x = 40\\y = 164\end{cases}$和$\begin{cases}x = 50\\y = 124\end{cases}$分别代入$y = kx + b$中，可得方程组$\begin{cases}40k + b = 164\\50k + b = 124\end{cases}$。
用第二个方程$50k + b = 124$减去第一个方程$40k + b = 164$，得：
$(50k + b)-(40k + b)=124 - 164$
$50k + b - 40k - b=-40$
$10k=-40$，解得$k = - 4$。
把$k = - 4$代入$40k + b = 164$，得$40\times(-4)+b = 164$，即$-160 + b = 164$，解得$b = 324$。
所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-4x + 324(30\leq x\leq80$，且$x$是整数$)$。
2. 已知利润$w =$票房收入$-$运营成本，票房收入为$xy$，运营成本为$2000$元，$y=-4x + 324$，则$w=xy - 2000=x(-4x + 324)-2000=-4x^{2}+324x - 2000(30\leq x\leq80$，且$x$是整数$)$。
3. 对于二次函数$w=-4x^{2}+324x - 2000$，其中$a=-4\lt0$，图象开口向下，对称轴为$x =-\frac{b}{2a}=-\frac{324}{2\times(-4)}=\frac{324}{8}=40.5$。
因为$x$是整数，且$30\leq x\leq80$，分别计算$x = 40$和$x = 41$时的利润：
当$x = 40$时，$w=-4\times40^{2}+324\times40 - 2000=-4\times1600+12960 - 2000=-6400+12960 - 2000 = 4560$；
当$x = 41$时，$w=-4\times41^{2}+324\times41 - 2000=-4\times1681+13284 - 2000=-6724+13284 - 2000 = 4560$。
所以当$x = 40$或$x = 41$时，$w$有最大值，最大值为$4560$元。
【答案】：
1. $y=-4x + 324(30\leq x\leq80$，且$x$是整数$)$
2. $w=-4x^{2}+324x - 2000(30\leq x\leq80$，且$x$是整数$)$
3. 当电影票售价定为$40$元/张或$41$元/张时，每天获利最大，最大利润是$4560$元。

13. (18分)野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分.某野兔一次跳跃如图所示,以起跳点O为原点,水平距离OA与竖直高度所在直线为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.当水平距离为1.4m时,野兔达到本次跳跃的最大竖直高度0.98m.
(1)求满足野兔跳跃的抛物线的解析式;
(2)若在野兔起跳点前方1.8m处有宽为0.8m的小溪,试说明野兔此次跳跃能否跃过小溪.

答案： 【解析】：
### $(1)$求满足野兔跳跃的抛物线的解析式
已知抛物线的顶点坐标为$(1.4,0.98)$，且过原点$(0,0)$，设抛物线的解析式为$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标）。
将$h = 1.4$，$k = 0.98$代入解析式得$y = a(x - 1.4)^2 + 0.98$。
把$(0,0)$代入$y = a(x - 1.4)^2 + 0.98$中，可得：
$0=a(0 - 1.4)^2 + 0.98$
$0 = 1.96a+0.98$
$1.96a=- 0.98$
解得$a = - 0.5$。
所以抛物线的解析式为$y=-0.5(x - 1.4)^2 + 0.98$，展开可得$y=-0.5(x^{2}-2.8x + 1.96)+0.98=-0.5x^{2}+1.4x$。
### $(2)$判断野兔此次跳跃能否跃过小溪
已知小溪在起跳点前方$1.8m$处，宽为$0.8m$，则需要判断$x = 1.8 + 0.8=2.6$时$y$的值与$0$的大小关系。
把$x = 2.6$代入$y=-0.5x^{2}+1.4x$中，可得：
$y=-0.5\times2.6^{2}+1.4\times2.6$
$y=-0.5\times6.76 + 3.64$
$y=-3.38 + 3.64$
$y = 0.26\gt0$
【答案】：
$(1)$抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-0.5x^{2}+1.4x}$；
$(2)$野兔此次跳跃$\boldsymbol{能}$跃过小溪。