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1. [教材改编]已知关于x的方程$x^{2}+ax+a - 2 = 0$.
(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
(1)当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
答案：
【解析】：
(1)把$x = 1$代入方程$x^{2}+ax+a - 2 = 0$，可得$1 + a + a - 2 = 0$，即$2a - 1 = 0$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入原方程得$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-2 = 0$，即$x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$，等式两边同时乘以$2$得$2x^{2}+x - 3 = 0$。
分解因式得$(2x + 3)(x - 1)=0$，则$2x+3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$，所以方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$。
(2)对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$，在方程$x^{2}+ax+a - 2 = 0$中，$A = 1$，$B = a$，$C = a - 2$，则$\Delta=a^{2}-4\times1\times(a - 2)=a^{2}-4a + 8=(a - 2)^{2}+4$。
因为$(a - 2)^{2}\geq0$，所以$(a - 2)^{2}+4\gt0$，即不论$a$取何实数，$\Delta\gt0$，所以该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】：
(1)$a=\frac{1}{2}$，方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$；
(2)证明过程如上述解析，可证不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
(1)把$x = 1$代入方程$x^{2}+ax+a - 2 = 0$，可得$1 + a + a - 2 = 0$，即$2a - 1 = 0$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入原方程得$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-2 = 0$，即$x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$，等式两边同时乘以$2$得$2x^{2}+x - 3 = 0$。
分解因式得$(2x + 3)(x - 1)=0$，则$2x+3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$，所以方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$。
(2)对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$，在方程$x^{2}+ax+a - 2 = 0$中，$A = 1$，$B = a$，$C = a - 2$，则$\Delta=a^{2}-4\times1\times(a - 2)=a^{2}-4a + 8=(a - 2)^{2}+4$。
因为$(a - 2)^{2}\geq0$，所以$(a - 2)^{2}+4\gt0$，即不论$a$取何实数，$\Delta\gt0$，所以该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】：
(1)$a=\frac{1}{2}$，方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$；
(2)证明过程如上述解析，可证不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
2. [变式]已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(k + 5)x + 6 + 2k = 0$.
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于-1，求k的取值范围.
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于-1，求k的取值范围.
答案：
【解析】：
1. （1）对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(k + 5)x + 6 + 2k = 0$中，$a = 1$，$b=-(k + 5)$，$c = 6 + 2k$。
则$\Delta=[-(k + 5)]^{2}-4\times1\times(6 + 2k)$
先根据完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$展开$[-(k + 5)]^{2}=(k + 5)^{2}=k^{2}+10k + 25$。
所以$\Delta=k^{2}+10k + 25-24 - 8k$。
合并同类项得$\Delta=k^{2}+2k + 1$。
再根据完全平方公式$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，这里$m = k$，$n = 1$，则$\Delta=(k + 1)^{2}$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(k + 1)^{2}\geqslant0$，所以此方程总有两个实数根。
2. （2）由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$来求解方程$x^{2}-(k + 5)x + 6 + 2k = 0$的根。
已知$a = 1$，$b=-(k + 5)$，$\Delta=(k + 1)^{2}$，则$x=\frac{(k + 5)\pm\sqrt{(k + 1)^{2}}}{2}=\frac{(k + 5)\pm(k + 1)}{2}$。
当取$+$号时，$x_{1}=\frac{(k + 5)+(k + 1)}{2}=\frac{k + 5 + k + 1}{2}=\frac{2k+6}{2}=k + 3$。
当取$-$号时，$x_{2}=\frac{(k + 5)-(k + 1)}{2}=\frac{k + 5 - k - 1}{2}=\frac{4}{2}=2$。
因为此方程恰有一个根小于$-1$，而$x_{2}=2\gt - 1$，所以只能是$x_{1}=k + 3\lt - 1$。
解不等式$k + 3\lt - 1$，移项可得$k\lt - 1-3$，即$k\lt - 4$。
【答案】：（1）证明过程如上述，通过计算判别式$\Delta=(k + 1)^{2}\geqslant0$，所以此方程总有两个实数根；（2）$k\lt - 4$
1. （1）对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(k + 5)x + 6 + 2k = 0$中，$a = 1$，$b=-(k + 5)$，$c = 6 + 2k$。
则$\Delta=[-(k + 5)]^{2}-4\times1\times(6 + 2k)$
先根据完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$展开$[-(k + 5)]^{2}=(k + 5)^{2}=k^{2}+10k + 25$。
所以$\Delta=k^{2}+10k + 25-24 - 8k$。
合并同类项得$\Delta=k^{2}+2k + 1$。
再根据完全平方公式$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，这里$m = k$，$n = 1$，则$\Delta=(k + 1)^{2}$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(k + 1)^{2}\geqslant0$，所以此方程总有两个实数根。
2. （2）由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$来求解方程$x^{2}-(k + 5)x + 6 + 2k = 0$的根。
已知$a = 1$，$b=-(k + 5)$，$\Delta=(k + 1)^{2}$，则$x=\frac{(k + 5)\pm\sqrt{(k + 1)^{2}}}{2}=\frac{(k + 5)\pm(k + 1)}{2}$。
当取$+$号时，$x_{1}=\frac{(k + 5)+(k + 1)}{2}=\frac{k + 5 + k + 1}{2}=\frac{2k+6}{2}=k + 3$。
当取$-$号时，$x_{2}=\frac{(k + 5)-(k + 1)}{2}=\frac{k + 5 - k - 1}{2}=\frac{4}{2}=2$。
因为此方程恰有一个根小于$-1$，而$x_{2}=2\gt - 1$，所以只能是$x_{1}=k + 3\lt - 1$。
解不等式$k + 3\lt - 1$，移项可得$k\lt - 1-3$，即$k\lt - 4$。
【答案】：（1）证明过程如上述，通过计算判别式$\Delta=(k + 1)^{2}\geqslant0$，所以此方程总有两个实数根；（2）$k\lt - 4$
3. [变式]已知关于x的方程$x^{2}-3x - m + 3 = 0$总有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若它的两个实数根$x_{1}$，$x_{2}$满足$x_{1}=2x_{2}$，求m的值.
(1)求m的取值范围；
(2)若它的两个实数根$x_{1}$，$x_{2}$满足$x_{1}=2x_{2}$，求m的值.
答案：
【解析】：
1. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根。
在方程$x^{2}-3x - m + 3 = 0$中，$a = 1$，$b=-3$，$c=-(m - 3)$，则$\Delta=(-3)^{2}-4\times1\times[-(m - 3)]$。
因为方程总有两个不相等的实数根，所以$\Delta\gt0$，即$(-3)^{2}-4\times1\times[-(m - 3)]\gt0$。
先计算$(-3)^{2}=9$，$4\times1\times[-(m - 3)]=-4(m - 3)=-4m + 12$，则$9+4m - 12\gt0$。
进一步得到$4m-3\gt0$，移项可得$4m\gt3$，解得$m\gt\frac{3}{4}$。
2. 根据韦达定理，在一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$中，两根$x_1$，$x_2$有$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}-3x - m + 3 = 0$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{-3}{1}=3$，$x_{1}x_{2}=\frac{-(m - 3)}{1}=3 - m$。
已知$x_{1}=2x_{2}$，将其代入$x_{1}+x_{2}=3$中，可得$2x_{2}+x_{2}=3$，即$3x_{2}=3$，解得$x_{2}=1$。
那么$x_{1}=2x_{2}=2$。
再把$x_{1}=2$，$x_{2}=1$代入$x_{1}x_{2}=3 - m$中，得到$2\times1=3 - m$。
即$2 = 3 - m$，移项可得$m=3 - 2=1$，且$1\gt\frac{3}{4}$，符合$m$的取值范围。
【答案】：1. $m\gt\frac{3}{4}$ 2. $m = 1$
1. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根。
在方程$x^{2}-3x - m + 3 = 0$中，$a = 1$，$b=-3$，$c=-(m - 3)$，则$\Delta=(-3)^{2}-4\times1\times[-(m - 3)]$。
因为方程总有两个不相等的实数根，所以$\Delta\gt0$，即$(-3)^{2}-4\times1\times[-(m - 3)]\gt0$。
先计算$(-3)^{2}=9$，$4\times1\times[-(m - 3)]=-4(m - 3)=-4m + 12$，则$9+4m - 12\gt0$。
进一步得到$4m-3\gt0$，移项可得$4m\gt3$，解得$m\gt\frac{3}{4}$。
2. 根据韦达定理，在一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$中，两根$x_1$，$x_2$有$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}-3x - m + 3 = 0$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{-3}{1}=3$，$x_{1}x_{2}=\frac{-(m - 3)}{1}=3 - m$。
已知$x_{1}=2x_{2}$，将其代入$x_{1}+x_{2}=3$中，可得$2x_{2}+x_{2}=3$，即$3x_{2}=3$，解得$x_{2}=1$。
那么$x_{1}=2x_{2}=2$。
再把$x_{1}=2$，$x_{2}=1$代入$x_{1}x_{2}=3 - m$中，得到$2\times1=3 - m$。
即$2 = 3 - m$，移项可得$m=3 - 2=1$，且$1\gt\frac{3}{4}$，符合$m$的取值范围。
【答案】：1. $m\gt\frac{3}{4}$ 2. $m = 1$
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