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12. (14分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}-3x + 2 = 0 $ 有实数根.
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ m $ 为正整数，求此时方程的根.
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ m $ 为正整数，求此时方程的根.
答案：
【解析】：1. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。在方程$(m - 1)x^{2}-3x + 2 = 0$中，$a = m - 1$，$b=-3$，$c = 2$。
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不为$0$，即$m - 1\neq0$，解得$m\neq1$。
又因为方程有实数根，所以$\Delta =b^{2}-4ac\geqslant0$，将$a = m - 1$，$b=-3$，$c = 2$代入可得：$\Delta=(-3)^{2}-4\times(m - 1)\times2\geqslant0$。
先计算$(-3)^{2}-4\times(m - 1)\times2$：
$(-3)^{2}-4\times(m - 1)\times2=9-8(m - 1)$。
展开$9-8(m - 1)$得$9-8m + 8=17-8m$。
则$17-8m\geqslant0$，移项可得$8m\leqslant17$，解得$m\leqslant\frac{17}{8}$。
综上，$m$的取值范围是$m\leqslant\frac{17}{8}$且$m\neq1$。
2. 因为$m$为正整数且$m\leqslant\frac{17}{8}$且$m\neq1$，那么满足条件的$m$只能为$2$。
当$m = 2$时，原方程为$(2 - 1)x^{2}-3x + 2 = 0$，即$x^{2}-3x + 2 = 0$。
对于一元二次方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，分解因式可得$(x - 1)(x - 2)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，则$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
【答案】：1. $m\leqslant\frac{17}{8}$且$m\neq1$ 2. $x_{1}=1$，$x_{2}=2$
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不为$0$，即$m - 1\neq0$，解得$m\neq1$。
又因为方程有实数根，所以$\Delta =b^{2}-4ac\geqslant0$，将$a = m - 1$，$b=-3$，$c = 2$代入可得：$\Delta=(-3)^{2}-4\times(m - 1)\times2\geqslant0$。
先计算$(-3)^{2}-4\times(m - 1)\times2$：
$(-3)^{2}-4\times(m - 1)\times2=9-8(m - 1)$。
展开$9-8(m - 1)$得$9-8m + 8=17-8m$。
则$17-8m\geqslant0$，移项可得$8m\leqslant17$，解得$m\leqslant\frac{17}{8}$。
综上，$m$的取值范围是$m\leqslant\frac{17}{8}$且$m\neq1$。
2. 因为$m$为正整数且$m\leqslant\frac{17}{8}$且$m\neq1$，那么满足条件的$m$只能为$2$。
当$m = 2$时，原方程为$(2 - 1)x^{2}-3x + 2 = 0$，即$x^{2}-3x + 2 = 0$。
对于一元二次方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，分解因式可得$(x - 1)(x - 2)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，则$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
【答案】：1. $m\leqslant\frac{17}{8}$且$m\neq1$ 2. $x_{1}=1$，$x_{2}=2$
13. (14分)定义：设 $ m $，$ n $ 是方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 的两个实数根，若 $ |m + n|=|mn| $，则称此类方程为“同步方程”. 例如，方程 $ x^{2}-4x + 4 = 0 $ 是“同步方程”.
(1)下列方程是“同步方程”的是______(填序号)；
①$ x^{2}=0 $，②$ x^{2}-x - 1 = 0 $，③$ x(x - 3)=0 $.
(2)若方程 $ x^{2}-(a + 3)x + 3a = 0 $ 是“同步方程”，求 $ a $ 的值；
(3)若方程 $ 2x^{2}+bx + 3c = 0(a\neq0) $ 是“同步方程”，求 $ b $，$ c $ 满足的数量关系.
(1)下列方程是“同步方程”的是______(填序号)；
①$ x^{2}=0 $，②$ x^{2}-x - 1 = 0 $，③$ x(x - 3)=0 $.
(2)若方程 $ x^{2}-(a + 3)x + 3a = 0 $ 是“同步方程”，求 $ a $ 的值；
(3)若方程 $ 2x^{2}+bx + 3c = 0(a\neq0) $ 是“同步方程”，求 $ b $，$ c $ 满足的数量关系.
答案：
【解析】：
1. 对于①$x^{2}=0$，根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}=0$中，$a = 1$，$b = 0$，$c = 0$，则$x_{1}=x_{2}=0$。
所以$m + n=0$，$mn = 0$，$\vert m + n\vert=\vert mn\vert = 0$，该方程是“同步方程”。
对于②$x^{2}-x - 1 = 0$，其中$a = 1$，$b=-1$，$c = - 1$，根据韦达定理$m + n=-\frac{b}{a}=1$，$mn=\frac{c}{a}=-1$。
则$\vert m + n\vert = 1$，$\vert mn\vert = 1$，$\vert m + n\vert=\vert mn\vert$，该方程是“同步方程”。
对于③$x(x - 3)=0$，即$x^{2}-3x = 0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c = 0$，根据韦达定理$m + n=-\frac{b}{a}=3$，$mn=\frac{c}{a}=0$。
则$\vert m + n\vert = 3$，$\vert mn\vert = 0$，$\vert m + n\vert\neq\vert mn\vert$，该方程不是“同步方程”。
2. 对于方程$x^{2}-(a + 3)x + 3a = 0$，其中$a = 1$，$b=-(a + 3)$，$c = 3a$，根据韦达定理$m + n=-\frac{b}{a}=a + 3$，$mn=\frac{c}{a}=3a$。
因为方程$x^{2}-(a + 3)x + 3a = 0$是“同步方程”，所以$\vert m + n\vert=\vert mn\vert$，即$\vert a + 3\vert=\vert 3a\vert$。
则$a + 3 = 3a$或$a + 3=-3a$。
当$a + 3 = 3a$时，移项可得$3a - a=3$，$2a = 3$，解得$a=\frac{3}{2}$。
当$a + 3=-3a$时，移项可得$a + 3a=-3$，$4a=-3$，解得$a=-\frac{3}{4}$。
3. 对于方程$2x^{2}+bx + 3c = 0$，其中$a = 2$，$b = b$，$c = 3c$，根据韦达定理$m + n=-\frac{b}{a}=-\frac{b}{2}$，$mn=\frac{c}{a}=\frac{3c}{2}$。
因为方程$2x^{2}+bx + 3c = 0$是“同步方程”，所以$\vert m + n\vert=\vert mn\vert$，即$\vert-\frac{b}{2}\vert=\vert\frac{3c}{2}\vert$。
两边同时乘以$2$得$\vert b\vert=\vert 3c\vert$，所以$b = 3c$或$b=-3c$。
【答案】：1. ①② 2. $a=\frac{3}{2}$或$a=-\frac{3}{4}$ 3. $b = 3c$或$b=-3c$
1. 对于①$x^{2}=0$，根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}=0$中，$a = 1$，$b = 0$，$c = 0$，则$x_{1}=x_{2}=0$。
所以$m + n=0$，$mn = 0$，$\vert m + n\vert=\vert mn\vert = 0$，该方程是“同步方程”。
对于②$x^{2}-x - 1 = 0$，其中$a = 1$，$b=-1$，$c = - 1$，根据韦达定理$m + n=-\frac{b}{a}=1$，$mn=\frac{c}{a}=-1$。
则$\vert m + n\vert = 1$，$\vert mn\vert = 1$，$\vert m + n\vert=\vert mn\vert$，该方程是“同步方程”。
对于③$x(x - 3)=0$，即$x^{2}-3x = 0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c = 0$，根据韦达定理$m + n=-\frac{b}{a}=3$，$mn=\frac{c}{a}=0$。
则$\vert m + n\vert = 3$，$\vert mn\vert = 0$，$\vert m + n\vert\neq\vert mn\vert$，该方程不是“同步方程”。
2. 对于方程$x^{2}-(a + 3)x + 3a = 0$，其中$a = 1$，$b=-(a + 3)$，$c = 3a$，根据韦达定理$m + n=-\frac{b}{a}=a + 3$，$mn=\frac{c}{a}=3a$。
因为方程$x^{2}-(a + 3)x + 3a = 0$是“同步方程”，所以$\vert m + n\vert=\vert mn\vert$，即$\vert a + 3\vert=\vert 3a\vert$。
则$a + 3 = 3a$或$a + 3=-3a$。
当$a + 3 = 3a$时，移项可得$3a - a=3$，$2a = 3$，解得$a=\frac{3}{2}$。
当$a + 3=-3a$时，移项可得$a + 3a=-3$，$4a=-3$，解得$a=-\frac{3}{4}$。
3. 对于方程$2x^{2}+bx + 3c = 0$，其中$a = 2$，$b = b$，$c = 3c$，根据韦达定理$m + n=-\frac{b}{a}=-\frac{b}{2}$，$mn=\frac{c}{a}=\frac{3c}{2}$。
因为方程$2x^{2}+bx + 3c = 0$是“同步方程”，所以$\vert m + n\vert=\vert mn\vert$，即$\vert-\frac{b}{2}\vert=\vert\frac{3c}{2}\vert$。
两边同时乘以$2$得$\vert b\vert=\vert 3c\vert$，所以$b = 3c$或$b=-3c$。
【答案】：1. ①② 2. $a=\frac{3}{2}$或$a=-\frac{3}{4}$ 3. $b = 3c$或$b=-3c$
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