《2025年活页过关练习西安出版社九年级数学上册人教版》

例1. 下列图形是中心对称图形的是( )

错解：A或C
易错防范：对中心对称图形的识别很容易误认为旋转后能与自身重合的图形就是中心对称图形，而忽视了必须旋转180°这个前提.

答案： B

例2. 如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是( )
A. 点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B. 点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C. 点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D. 点D是旋转中心，点A和点D是对应点
错解：B
易错防范：易将旋转中心弄错，要注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.

答案： C

例3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，使点B'恰好落在AB边上，画出旋转后的△A'B'C，猜想AC和A'B'的位置关系，并给出证明.
错解：所画的图形△A'B'C容易出错. 当图形画错后，就无法判断AC和A'B'的位置关系.
正解：
易错防范：画旋转后的图形，首先要分析题目要求，确定旋转中心、旋转方向及旋转角，作出已知图形各关键点的对应点. 根据图形旋转前、后的对应边相等，对应角相等，每组对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，可以构造等腰三角形来求解一些问题.

答案： 【解析】：
1. 首先画旋转后的$\triangle A'B'C$：
因为$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$\triangle A'B'C$，点$B'$落在$AB$边上，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，则$\angle B = 60^{\circ}$。
由于旋转前后$CB = CB'$，所以$\triangle BCB'$是等腰三角形，又因为$\angle B = 60^{\circ}$，所以$\triangle BCB'$是等边三角形，那么旋转角$\angle BCB'=60^{\circ}$。
以$C$为旋转中心，将$CA$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$CA'$，将$CB$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$CB'$，连接$A'B'$，就得到旋转后的$\triangle A'B'C$。
2. 然后猜想$AC$和$A'B'$的位置关系并证明：
猜想$AC\perp A'B'$。
证明：因为$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle A'B'C$，所以$\angle A'=\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ACA'=60^{\circ}$。
设$AC$与$A'B'$相交于点$D$，在$\triangle A'DC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle A'DC=180^{\circ}-\angle A'-\angle ACA'=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$。
所以$AC\perp A'B'$。
【答案】：所画图形：以$C$为旋转中心，将$CA$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$CA'$，将$CB$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$CB'$，连接$A'B'$得到$\triangle A'B'C$；位置关系：$AC\perp A'B'$，证明过程如上述解析。