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1. [教材改编](1)抛物线 $ y = x ^ { 2 } + x - 2 $ 与 $ x $ 轴有______个公共点，方程 $ x ^ { 2 } + x - 2 = 0 $ 的根是_______________；
(2)抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 6 x + 9 $ 与 $ x $ 轴有______个公共点，方程 $ x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 0 $ 的根是___________.
(2)抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 6 x + 9 $ 与 $ x $ 轴有______个公共点，方程 $ x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 0 $ 的根是___________.
答案：
1. $2$；$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$ 2. $1$；$x_{1}=x_{2}=3$
2. [变式][2024 仓山月考]求证：二次函数 $ y = x ^ { 2 } - ( k - 2 ) x + k - 5 $（$ k $ 是常数）的图象与 $ x $ 轴一定有两个交点.
答案：
【解析】：本题可通过判断二次函数对应的一元二次方程的判别式$\Delta$的正负性，来确定二次函数图象与$x$轴的交点情况。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其对应的一元二次方程为$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），判别式$\Delta = b^{2}-4ac$。
当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与$x$轴有两个交点；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与$x$轴有一个交点；
当$\Delta\lt0$时，方程没有实数根，二次函数的图象与$x$轴没有交点。
在二次函数$y = x^{2}-(k - 2)x + k - 5$中，$a = 1$，$b = -(k - 2)$，$c = k - 5$，则$\Delta = [-(k - 2)]^{2}-4\times1\times(k - 5)$，化简该式：
$\begin{aligned}\Delta&=(k - 2)^{2}-4(k - 5)\\&=k^{2}-4k + 4 - 4k + 20\\&=k^{2}-8k + 24\\&=k^{2}-8k + 16 + 8\\&=(k - 4)^{2}+ 8\end{aligned}$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(k - 4)^{2}\geq0$，那么$(k - 4)^{2}+ 8\gt0$，即$\Delta\gt0$。
所以二次函数$y = x^{2}-(k - 2)x + k - 5$（$k$是常数）的图象与$x$轴一定有两个交点。
【答案】：在二次函数$y = x^{2}-(k - 2)x + k - 5$中，$a = 1$，$b = -(k - 2)$，$c = k - 5$，$\Delta = [-(k - 2)]^{2}-4\times1\times(k - 5)=k^{2}-8k + 24=(k - 4)^{2}+ 8$，因为$(k - 4)^{2}\geq0$，所以$(k - 4)^{2}+ 8\gt0$，即$\Delta\gt0$，所以二次函数的图象与$x$轴一定有两个交点。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其对应的一元二次方程为$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），判别式$\Delta = b^{2}-4ac$。
当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与$x$轴有两个交点；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与$x$轴有一个交点；
当$\Delta\lt0$时，方程没有实数根，二次函数的图象与$x$轴没有交点。
在二次函数$y = x^{2}-(k - 2)x + k - 5$中，$a = 1$，$b = -(k - 2)$，$c = k - 5$，则$\Delta = [-(k - 2)]^{2}-4\times1\times(k - 5)$，化简该式：
$\begin{aligned}\Delta&=(k - 2)^{2}-4(k - 5)\\&=k^{2}-4k + 4 - 4k + 20\\&=k^{2}-8k + 24\\&=k^{2}-8k + 16 + 8\\&=(k - 4)^{2}+ 8\end{aligned}$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(k - 4)^{2}\geq0$，那么$(k - 4)^{2}+ 8\gt0$，即$\Delta\gt0$。
所以二次函数$y = x^{2}-(k - 2)x + k - 5$（$k$是常数）的图象与$x$轴一定有两个交点。
【答案】：在二次函数$y = x^{2}-(k - 2)x + k - 5$中，$a = 1$，$b = -(k - 2)$，$c = k - 5$，$\Delta = [-(k - 2)]^{2}-4\times1\times(k - 5)=k^{2}-8k + 24=(k - 4)^{2}+ 8$，因为$(k - 4)^{2}\geq0$，所以$(k - 4)^{2}+ 8\gt0$，即$\Delta\gt0$，所以二次函数的图象与$x$轴一定有两个交点。
3. [变式]若 $ - 1 ＜ x ＜ 1 $ 时，抛物线 $ y = 3 x ^ { 2 } + 2 x + c $ 与 $ x $ 轴有且只有一个公共点，求 $ c $ 的取值范围.
答案：
【解析】：本题可先求出抛物线对称轴，再根据抛物线与$x$轴有且只有一个公共点分情况讨论，进而求出$c$的取值范围。
- **步骤一：求抛物线$y = 3x^2 + 2x + c$的对称轴。**
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y = 3x^2 + 2x + c$中，$a = 3$，$b = 2$，将其代入对称轴公式可得对称轴为$x=-\frac{2}{2\times3}=-\frac{1}{3}$，因为$-1＜-\frac{1}{3}＜1$，所以对称轴在$-1＜x＜1$这个区间内。
- **步骤二：分情况讨论抛物线与$x$轴有且只有一个公共点时$c$的取值范围。**
**情况一：当抛物线与$x$轴只有一个公共点时，即$\Delta = 0$。**
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta = 0$时，方程有且只有一个实数根，即抛物线与$x$轴有且只有一个公共点。
在抛物线$y = 3x^2 + 2x + c$中，$a = 3$，$b = 2$，$c$为待求系数，令$\Delta = 2^2 - 4\times3c = 0$，即$4 - 12c = 0$，移项可得$12c = 4$，解得$c = \frac{1}{3}$。
**情况二：当抛物线与$x$轴有两个公共点，且其中一个公共点在$-1＜x＜1$这个区间内时。**
当$x = -1$和$x = 1$时，函数值异号，即$(3 - 2 + c)(3 + 2 + c)＜0$，也就是$(1 + c)(5 + c)＜0$。
要使$(1 + c)(5 + c)＜0$成立，则$1 + c$与$5 + c$异号，可分两种情况讨论：
当$1 + c＞0$且$5 + c＜0$时，解$1 + c＞0$可得$c＞-1$，解$5 + c＜0$可得$c＜-5$，此时$c$的取值没有交集，这种情况无解。
当$1 + c＜0$且$5 + c＞0$时，解$1 + c＜0$可得$c＜-1$，解$5 + c＞0$可得$c＞-5$，所以此种情况下$-5＜c＜-1$。
- **步骤三：综合两种情况，确定$c$的取值范围。**
结合情况一和情况二，可得$c$的取值范围是$c = \frac{1}{3}$或$-5 ＜ c ＜ -1$。
【答案】：$c = \frac{1}{3}$或$-5 ＜ c ＜ -1$
- **步骤一：求抛物线$y = 3x^2 + 2x + c$的对称轴。**
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y = 3x^2 + 2x + c$中，$a = 3$，$b = 2$，将其代入对称轴公式可得对称轴为$x=-\frac{2}{2\times3}=-\frac{1}{3}$，因为$-1＜-\frac{1}{3}＜1$，所以对称轴在$-1＜x＜1$这个区间内。
- **步骤二：分情况讨论抛物线与$x$轴有且只有一个公共点时$c$的取值范围。**
**情况一：当抛物线与$x$轴只有一个公共点时，即$\Delta = 0$。**
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta = 0$时，方程有且只有一个实数根，即抛物线与$x$轴有且只有一个公共点。
在抛物线$y = 3x^2 + 2x + c$中，$a = 3$，$b = 2$，$c$为待求系数，令$\Delta = 2^2 - 4\times3c = 0$，即$4 - 12c = 0$，移项可得$12c = 4$，解得$c = \frac{1}{3}$。
**情况二：当抛物线与$x$轴有两个公共点，且其中一个公共点在$-1＜x＜1$这个区间内时。**
当$x = -1$和$x = 1$时，函数值异号，即$(3 - 2 + c)(3 + 2 + c)＜0$，也就是$(1 + c)(5 + c)＜0$。
要使$(1 + c)(5 + c)＜0$成立，则$1 + c$与$5 + c$异号，可分两种情况讨论：
当$1 + c＞0$且$5 + c＜0$时，解$1 + c＞0$可得$c＞-1$，解$5 + c＜0$可得$c＜-5$，此时$c$的取值没有交集，这种情况无解。
当$1 + c＜0$且$5 + c＞0$时，解$1 + c＜0$可得$c＜-1$，解$5 + c＞0$可得$c＞-5$，所以此种情况下$-5＜c＜-1$。
- **步骤三：综合两种情况，确定$c$的取值范围。**
结合情况一和情况二，可得$c$的取值范围是$c = \frac{1}{3}$或$-5 ＜ c ＜ -1$。
【答案】：$c = \frac{1}{3}$或$-5 ＜ c ＜ -1$
4. [变式]已知抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 3 x + m $ 与直线 $ y = x + 3 m $ 只有一个交点，其中 $ m $ 为常数. 求该抛物线的解析式及交点坐标.
答案：
【解析】：因为抛物线$y = - x ^ { 2 } + 3 x + m$与直线$y = x + 3 m$只有一个交点，所以可将两函数联立得方程$-x^{2}+3x + m=x + 3m$，移项化为一元二次方程的一般形式：$-x^{2}+3x + m - x - 3m = 0$，即$-x^{2}+2x - 2m = 0$，进一步变形为$x^{2}-2x + 2m = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，当判别式$\Delta=b^{2}-4ac = 0$时，方程有且仅有一个解。
在方程$x^{2}-2x + 2m = 0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c = 2m$，则$\Delta=(-2)^{2}-4\times1\times2m = 0$，即$4 - 8m = 0$，移项可得$8m = 4$，解得$m=\frac{1}{2}$。
把$m=\frac{1}{2}$代入抛物线$y = - x ^ { 2 } + 3 x + m$，可得抛物线解析式为$y=-x^{2}+3x+\frac{1}{2}$。
把$m=\frac{1}{2}$代入$x^{2}-2x + 2m = 0$，即$x^{2}-2x + 2\times\frac{1}{2}=0$，也就是$x^{2}-2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(x - 1)^{2}=0$，解得$x = 1$。
把$x = 1$，$m=\frac{1}{2}$代入直线$y = x + 3 m$，可得$y=1+3\times\frac{1}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，所以交点坐标为$(1,\frac{5}{2})$。
【答案】：抛物线解析式为$y=-x^{2}+3x+\frac{1}{2}$，交点坐标为$(1,\frac{5}{2})$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，当判别式$\Delta=b^{2}-4ac = 0$时，方程有且仅有一个解。
在方程$x^{2}-2x + 2m = 0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c = 2m$，则$\Delta=(-2)^{2}-4\times1\times2m = 0$，即$4 - 8m = 0$，移项可得$8m = 4$，解得$m=\frac{1}{2}$。
把$m=\frac{1}{2}$代入抛物线$y = - x ^ { 2 } + 3 x + m$，可得抛物线解析式为$y=-x^{2}+3x+\frac{1}{2}$。
把$m=\frac{1}{2}$代入$x^{2}-2x + 2m = 0$，即$x^{2}-2x + 2\times\frac{1}{2}=0$，也就是$x^{2}-2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(x - 1)^{2}=0$，解得$x = 1$。
把$x = 1$，$m=\frac{1}{2}$代入直线$y = x + 3 m$，可得$y=1+3\times\frac{1}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，所以交点坐标为$(1,\frac{5}{2})$。
【答案】：抛物线解析式为$y=-x^{2}+3x+\frac{1}{2}$，交点坐标为$(1,\frac{5}{2})$
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