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1. [教材原题]如图，要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$；结果保留小数点后一位)
答案：
【解析】：
设中央矩形的长为$9x cm$，宽为$7x cm$（因为封面长$27cm$，宽$21cm$，$27:21 = 9:7$）。
已知四周彩色边衬所占面积是封面面积的$\frac{1}{4}$，则中央矩形面积是封面面积的$1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
封面面积为$27×21$，中央矩形面积为$9x×7x$，可列方程：
$9x×7x=\frac{3}{4}×27×21$
$63x^{2}=\frac{3}{4}×567$
$x^{2}=\frac{3}{4}×9$
$x^{2}=\frac{27}{4}$
$x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$（$x＞0$）
$x\approx\frac{3×1.73}{2}=2.595$
上、下边衬的宽度为$\frac{27 - 9x}{2}=\frac{27 - 9×2.595}{2}=\frac{27 - 23.355}{2}=\frac{3.645}{2}\approx1.8(cm)$
左、右边衬的宽度为$\frac{21 - 7x}{2}=\frac{21 - 7×2.595}{2}=\frac{21 - 18.165}{2}=\frac{2.835}{2}\approx1.4(cm)$
【答案】：上、下边衬宽度约为$1.8cm$，左、右边衬宽度约为$1.4cm$。
设中央矩形的长为$9x cm$，宽为$7x cm$（因为封面长$27cm$，宽$21cm$，$27:21 = 9:7$）。
已知四周彩色边衬所占面积是封面面积的$\frac{1}{4}$，则中央矩形面积是封面面积的$1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
封面面积为$27×21$，中央矩形面积为$9x×7x$，可列方程：
$9x×7x=\frac{3}{4}×27×21$
$63x^{2}=\frac{3}{4}×567$
$x^{2}=\frac{3}{4}×9$
$x^{2}=\frac{27}{4}$
$x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$（$x＞0$）
$x\approx\frac{3×1.73}{2}=2.595$
上、下边衬的宽度为$\frac{27 - 9x}{2}=\frac{27 - 9×2.595}{2}=\frac{27 - 23.355}{2}=\frac{3.645}{2}\approx1.8(cm)$
左、右边衬的宽度为$\frac{21 - 7x}{2}=\frac{21 - 7×2.595}{2}=\frac{21 - 18.165}{2}=\frac{2.835}{2}\approx1.4(cm)$
【答案】：上、下边衬宽度约为$1.8cm$，左、右边衬宽度约为$1.4cm$。
2. [变式]如图，某人利用 20 m 的旧墙 MN 和木栏围成一个面积为$300m^{2}$的矩形菜园 ABCD，其中$AD≤MN$，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 50 m 木栏. 求 AB 的长.
答案：
【解析】：
设$AB = xm$，则$BC=(50 - 2x)m$。
根据矩形面积公式$S = AB\times BC$，已知面积为$300m^{2}$，可得方程$x(50 - 2x)=300$。
展开方程得$50x-2x^{2}=300$，移项化为标准的一元二次方程形式$2x^{2}-50x + 300 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-25x + 150 = 0$。
因式分解得$(x - 10)(x - 15)=0$，则$x - 10 = 0$或$x - 15 = 0$，解得$x_{1}=10$，$x_{2}=15$。
当$x = 10$时，$BC = 50 - 2\times10=30m$，因为$AD = BC$，旧墙$MN = 20m$，$30\gt20$，不符合$AD\leq MN$，舍去。
当$x = 15$时，$BC = 50 - 2\times15 = 20m$，$20 = 20$，符合$AD\leq MN$。
【答案】：$15m$
设$AB = xm$，则$BC=(50 - 2x)m$。
根据矩形面积公式$S = AB\times BC$，已知面积为$300m^{2}$，可得方程$x(50 - 2x)=300$。
展开方程得$50x-2x^{2}=300$，移项化为标准的一元二次方程形式$2x^{2}-50x + 300 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-25x + 150 = 0$。
因式分解得$(x - 10)(x - 15)=0$，则$x - 10 = 0$或$x - 15 = 0$，解得$x_{1}=10$，$x_{2}=15$。
当$x = 10$时，$BC = 50 - 2\times10=30m$，因为$AD = BC$，旧墙$MN = 20m$，$30\gt20$，不符合$AD\leq MN$，舍去。
当$x = 15$时，$BC = 50 - 2\times15 = 20m$，$20 = 20$，符合$AD\leq MN$。
【答案】：$15m$
3. [变式]如图，要设计一幅宽 20 cm，长 40 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为$1:2$，要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，求每个横彩条的宽度.
答案：
【解析】：设每个横彩条的宽度为$x cm$，则每个竖彩条的宽度为$2x cm$。
那么空白部分的长为$(40 - 4x)cm$，宽为$(20 - 2x)cm$。
已知彩条所占面积是图案面积的四分之一，则空白部分面积是图案面积的$\frac{3}{4}$。
根据长方形面积公式$S = 长\times宽$，可得方程$(40 - 4x)(20 - 2x)=\frac{3}{4}\times20\times40$。
展开括号得$800 - 80x - 80x + 8x^{2}=600$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$8x^{2}-160x + 800 - 600 = 0$，即$8x^{2}-160x + 200 = 0$，两边同时除以$8$得$x^{2}-20x + 25 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-20$，$c = 25$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-20)^{2}-4\times1\times25=400 - 100 = 300$，$x=\frac{20\pm\sqrt{300}}{2}=\frac{20\pm10\sqrt{3}}{2}=10\pm5\sqrt{3}$。
又因为$40-4x\gt0$且$20 - 2x\gt0$，即$x\lt10$，$x\lt10$，$10 + 5\sqrt{3}\approx10+5\times1.732=10 + 8.66 = 18.66\gt10$（舍去），所以$x = 10 - 5\sqrt{3}$。
【答案】：$(10 - 5\sqrt{3})cm$
那么空白部分的长为$(40 - 4x)cm$，宽为$(20 - 2x)cm$。
已知彩条所占面积是图案面积的四分之一，则空白部分面积是图案面积的$\frac{3}{4}$。
根据长方形面积公式$S = 长\times宽$，可得方程$(40 - 4x)(20 - 2x)=\frac{3}{4}\times20\times40$。
展开括号得$800 - 80x - 80x + 8x^{2}=600$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$8x^{2}-160x + 800 - 600 = 0$，即$8x^{2}-160x + 200 = 0$，两边同时除以$8$得$x^{2}-20x + 25 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-20$，$c = 25$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-20)^{2}-4\times1\times25=400 - 100 = 300$，$x=\frac{20\pm\sqrt{300}}{2}=\frac{20\pm10\sqrt{3}}{2}=10\pm5\sqrt{3}$。
又因为$40-4x\gt0$且$20 - 2x\gt0$，即$x\lt10$，$x\lt10$，$10 + 5\sqrt{3}\approx10+5\times1.732=10 + 8.66 = 18.66\gt10$（舍去），所以$x = 10 - 5\sqrt{3}$。
【答案】：$(10 - 5\sqrt{3})cm$
4. [变式]国庆节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，该水果的进价为每千克 12 元，当销售定价为每千克 20 元时，每天可售出 60 千克；若销售定价每千克降低 1 元，每天的销售量将增加 10 千克. 该超市销售这种水果每天要获利 330 元，求这种水果每千克应降价多少元？
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答案：
【解析】：设这种水果每千克应降价$x$元。
已知水果进价为每千克$12$元，原销售定价为每千克$20$元，降价$x$元后，售价为$(20 - x)$元，每千克的利润为$(20 - x - 12)$元。
原每天可售出$60$千克，销售定价每千克降低$1$元，每天的销售量将增加$10$千克，那么降价$x$元后，每天的销售量为$(60 + 10x)$千克。
根据“总利润$=$每千克的利润$\times$销售量”，可列方程$(20 - x - 12)(60 + 10x)=330$，
即$(8 - x)(60 + 10x)=330$，
展开括号得$480+80x - 60x-10x^{2}=330$，
移项化为一般形式为$10x^{2}-20x - 150 = 0$，
两边同时除以$10$得$x^{2}-2x - 15 = 0$，
分解因式得$(x - 5)(x + 3)=0$，
则$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$，
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-3$（降价金额不能为负数，舍去）。
【答案】：这种水果每千克应降价$5$元。
已知水果进价为每千克$12$元，原销售定价为每千克$20$元，降价$x$元后，售价为$(20 - x)$元，每千克的利润为$(20 - x - 12)$元。
原每天可售出$60$千克，销售定价每千克降低$1$元，每天的销售量将增加$10$千克，那么降价$x$元后，每天的销售量为$(60 + 10x)$千克。
根据“总利润$=$每千克的利润$\times$销售量”，可列方程$(20 - x - 12)(60 + 10x)=330$，
即$(8 - x)(60 + 10x)=330$，
展开括号得$480+80x - 60x-10x^{2}=330$，
移项化为一般形式为$10x^{2}-20x - 150 = 0$，
两边同时除以$10$得$x^{2}-2x - 15 = 0$，
分解因式得$(x - 5)(x + 3)=0$，
则$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$，
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-3$（降价金额不能为负数，舍去）。
【答案】：这种水果每千克应降价$5$元。
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