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1. [教材原题]如图，$\triangle ABD$，$\triangle AEC$都是等边三角形. $BE$与$DC$有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
答案：
【解析】：
因为$\triangle ABD$，$\triangle AEC$都是等边三角形，所以$AD = AB$，$AC = AE$，$\angle BAD=\angle CAE = 60^{\circ}$。
$\angle BAD+\angle BAC=\angle CAE+\angle BAC$，即$\angle DAC=\angle BAE$。
在$\triangle DAC$和$\triangle BAE$中，$\begin{cases}AD = AB\\\angle DAC=\angle BAE\\AC = AE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle DAC\cong\triangle BAE$，所以$BE = DC$。
从旋转的性质来看，$\triangle BAE$可以看作是$\triangle DAC$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到的（因为$\angle BAD = 60^{\circ}$），根据旋转的性质，旋转前后的图形全等，所以对应边$BE = DC$。
【答案】：$BE = DC$
因为$\triangle ABD$，$\triangle AEC$都是等边三角形，所以$AD = AB$，$AC = AE$，$\angle BAD=\angle CAE = 60^{\circ}$。
$\angle BAD+\angle BAC=\angle CAE+\angle BAC$，即$\angle DAC=\angle BAE$。
在$\triangle DAC$和$\triangle BAE$中，$\begin{cases}AD = AB\\\angle DAC=\angle BAE\\AC = AE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle DAC\cong\triangle BAE$，所以$BE = DC$。
从旋转的性质来看，$\triangle BAE$可以看作是$\triangle DAC$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到的（因为$\angle BAD = 60^{\circ}$），根据旋转的性质，旋转前后的图形全等，所以对应边$BE = DC$。
【答案】：$BE = DC$
2. [变式]如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，将$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$\triangle A^{\prime}B^{\prime}C$，点$B^{\prime}$恰好落在$AB$边上，$A^{\prime}B^{\prime}$交$AC$于点$F$. $AC$和$A^{\prime}B^{\prime}$有什么样的位置关系？并说明理由.
答案：
【解析】：
- 因为在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，所以$\angle B = 60^{\circ}$。
- 由旋转可知$CB = CB^{\prime}$，所以$\triangle BCB^{\prime}$是等边三角形，则$\angle BCB^{\prime}=60^{\circ}$。
- 那么$\angle A^{\prime}CA = 180^{\circ}-\angle BCB^{\prime}-\angle ACB = 180^{\circ}- 60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
- 又因为$\angle A^{\prime}=\angle A = 30^{\circ}$，所以$\angle A^{\prime}FC = 180^{\circ}-\angle A^{\prime}-\angle A^{\prime}CA = 180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle AFC = 180^{\circ}-\angle A^{\prime}FC = 60^{\circ}$。
- 而$\angle A^{\prime}CA = 30^{\circ}$，所以$\angle A^{\prime}FC = 90^{\circ}$，即$AC\perp A^{\prime}B^{\prime}$。
【答案】：$AC\perp A^{\prime}B^{\prime}$
- 因为在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，所以$\angle B = 60^{\circ}$。
- 由旋转可知$CB = CB^{\prime}$，所以$\triangle BCB^{\prime}$是等边三角形，则$\angle BCB^{\prime}=60^{\circ}$。
- 那么$\angle A^{\prime}CA = 180^{\circ}-\angle BCB^{\prime}-\angle ACB = 180^{\circ}- 60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
- 又因为$\angle A^{\prime}=\angle A = 30^{\circ}$，所以$\angle A^{\prime}FC = 180^{\circ}-\angle A^{\prime}-\angle A^{\prime}CA = 180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle AFC = 180^{\circ}-\angle A^{\prime}FC = 60^{\circ}$。
- 而$\angle A^{\prime}CA = 30^{\circ}$，所以$\angle A^{\prime}FC = 90^{\circ}$，即$AC\perp A^{\prime}B^{\prime}$。
【答案】：$AC\perp A^{\prime}B^{\prime}$
3. [变式]如图，四边形$ABCD$是矩形，$AC$为对角线.
(1)把$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转一定角度$\alpha$得到$\triangle EFC$，点$A$的对应点$E$在$AD$的延长线上，点$B$的对应点为$F$，请你在图中作出$\triangle EFC$；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若$\angle CEF=26^{\circ}$，求旋转角$\alpha$的大小.
(1)把$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转一定角度$\alpha$得到$\triangle EFC$，点$A$的对应点$E$在$AD$的延长线上，点$B$的对应点为$F$，请你在图中作出$\triangle EFC$；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若$\angle CEF=26^{\circ}$，求旋转角$\alpha$的大小.
答案：
【解析】：
(1) 以点$C$为圆心，$CB$长为半径画弧；再以点$E$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧交点即为点$F$，连接$CF$、$EF$，得到$\triangle EFC$。
(2) 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，$\angle B = 90^{\circ}$。
由旋转性质可知$\angle EFC=\angle B = 90^{\circ}$，$CE = CA$。
因为$AD// BC$，所以$\angle ECB=\angle AEC$。
又因为$CE = CA$，所以$\angle AEC=\angle EAC$。
在$\triangle EFC$中，$\angle CEF = 26^{\circ}$，$\angle EFC = 90^{\circ}$，则$\angle ECF=180^{\circ}-\angle EFC - \angle CEF=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}$。
所以$\angle EAC=\angle AEC = 26^{\circ}$，那么$\angle ACB=\angle AEC = 26^{\circ}$。
所以旋转角$\alpha=\angle ECB=\angle ECF+\angle FCB$，$\angle FCB=\angle ACB = 26^{\circ}$，$\angle ECF = 64^{\circ}$，则$\alpha=64^{\circ}+26^{\circ}=52^{\circ}$。
【答案】：
(1) 作图见上述解析。
(2)$52^{\circ}$
(1) 以点$C$为圆心，$CB$长为半径画弧；再以点$E$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧交点即为点$F$，连接$CF$、$EF$，得到$\triangle EFC$。
(2) 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，$\angle B = 90^{\circ}$。
由旋转性质可知$\angle EFC=\angle B = 90^{\circ}$，$CE = CA$。
因为$AD// BC$，所以$\angle ECB=\angle AEC$。
又因为$CE = CA$，所以$\angle AEC=\angle EAC$。
在$\triangle EFC$中，$\angle CEF = 26^{\circ}$，$\angle EFC = 90^{\circ}$，则$\angle ECF=180^{\circ}-\angle EFC - \angle CEF=180^{\circ}-90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}$。
所以$\angle EAC=\angle AEC = 26^{\circ}$，那么$\angle ACB=\angle AEC = 26^{\circ}$。
所以旋转角$\alpha=\angle ECB=\angle ECF+\angle FCB$，$\angle FCB=\angle ACB = 26^{\circ}$，$\angle ECF = 64^{\circ}$，则$\alpha=64^{\circ}+26^{\circ}=52^{\circ}$。
【答案】：
(1) 作图见上述解析。
(2)$52^{\circ}$
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