《2025年活页过关练习西安出版社九年级数学上册人教版》

7. (12分)毕业 10 年后,某班同学聚会,见面时相互间均握了一次手,握手的次数一共为 780,求这次参加聚会的同学有多少人?

答案： 【解析】：设这次参加聚会的同学有$x$人。每个人都要和除自己之外的$(x - 1)$个人握手，但是每次握手会被重复计算两次，所以握手总次数为$\frac{x(x - 1)}{2}$。已知握手的次数一共为$780$，则可列方程$\frac{x(x - 1)}{2}=780$，即$x(x - 1)=1560$，展开得到$x^{2}-x - 1560 = 0$。对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a≠0$），这里$a = 1$，$b=-1$，$c = - 1560$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\times1\times(-1560)=1 + 6240 = 6241$，$x=\frac{1\pm\sqrt{6241}}{2}=\frac{1\pm79}{2}$，解得$x_{1}=\frac{1 + 79}{2}=40$，$x_{2}=\frac{1-79}{2}=-39$（人数不能为负数，舍去）。
【答案】：40

8. (12分)生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182 件,求全组共有多少名同学?

答案： 【解析】：设全组共有$x$名同学。每名同学要向除自己之外的$(x - 1)$名同学各赠送一件标本，则每名同学赠送$(x - 1)$件；那么$x$名同学共赠送$x(x - 1)$件，已知全组共互赠了$182$件，所以可列方程$x(x - 1)=182$，即$x^{2}-x - 182 = 0$，分解因式得$(x - 14)(x+13)=0$，解得$x_{1}=14$，$x_{2}=-13$（人数不能为负数，舍去）。
【答案】：14

9. (20分)某超市销售 A,B 两种玩具,每个 A 型玩具的进价比每个 B 型玩具的进价高 2 元,若用600 元购进 A 型玩具的数量与用 500 元购进 B 型玩具的数量相同.
(1)求 A,B 两种玩具每个进价是多少元;
(2)超市某天共购进 A,B 两种玩具共 50 个,当天全部销售完.销售 A 型玩具的价格 y(单位:元/个)与销售量 x(单位:个)之间的函数关系为 $y=-2x+80$;销售 B 型玩具日获利 m(单位:元)与销售量 n(单位:个)之间的函数关系为 $m=16n-260$.若该超市销售这 50 个玩具日获利共 300 元,问 B 型玩具的销售单价是多少元?

答案： 【解析】：
1. 设每个$B$型玩具的进价为$x$元，则每个$A$型玩具的进价为$(x + 2)$元。
根据“用$600$元购进$A$型玩具的数量与用$500$元购进$B$型玩具的数量相同”可列方程：$\frac{600}{x + 2}=\frac{500}{x}$。
方程两边同乘$x(x + 2)$得：$600x=500(x + 2)$。
展开括号得：$600x = 500x+1000$。
移项得：$600x-500x=1000$，即$100x = 1000$，解得$x = 10$。
经检验，当$x = 10$时，$x(x + 2)=10\times(10 + 2)=120\neq0$，所以$x = 10$是原分式方程的解。
则$x + 2=10 + 2 = 12$，所以$A$型玩具每个进价是$12$元，$B$型玩具每个进价是$10$元。
2. 已知超市某天共购进$A$，$B$两种玩具共$50$个，设销售$A$型玩具$x$个，则销售$B$型玩具$n=(50 - x)$个。
销售$A$型玩具的利润为$(y - 12)x=(-2x + 80-12)x=(-2x + 68)x=-2x^{2}+68x$。
销售$B$型玩具日获利$m = 16n-260=16(50 - x)-260=800-16x - 260=540-16x$。
因为该超市销售这$50$个玩具日获利共$300$元，所以$-2x^{2}+68x+540 - 16x=300$。
整理得$-2x^{2}+52x + 240 = 0$，两边同时除以$-2$得$x^{2}-26x - 120 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-26$，$c=-120$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-26)^{2}-4\times1\times(-120)=676 + 480 = 1156$，$x=\frac{26\pm\sqrt{1156}}{2}=\frac{26\pm34}{2}$。
解得$x_{1}=\frac{26 + 34}{2}=30$，$x_{2}=\frac{26-34}{2}=-4$（销售量不能为负舍去）。
则$n = 50 - x=50 - 30 = 20$个。
把$n = 20$代入$m = 16n-260$，此时$m=16\times20-260=320 - 260 = 60$元。
设$B$型玩具的销售单价为$z$元，根据利润公式$m=(z - 10)n$，$60=(z - 10)\times20$，解得$z - 10 = 3$，$z = 13$元。
【答案】：1. $A$型玩具每个进价是$12$元，$B$型玩具每个进价是$10$元 2. $13$