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1. [教材原题]解方程：$x^{2}-2x+1=25$.
答案：
【解析】：本题可先将方程左边的式子变形为完全平方式，再利用直接开平方法求解。
- **步骤一：将方程左边变形为完全平方式**
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对$x^{2}-2x + 1$进行变形可得$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^2$，则原方程可化为$(x - 1)^2 = 25$。
- **步骤二：利用直接开平方法求解方程**
对$(x - 1)^2 = 25$两边同时开平方，可得$x - 1 = \pm\sqrt{25}=\pm 5$。
当$x - 1 = 5$时，移项可得$x = 5 + 1 = 6$。
当$x - 1 = -5$时，移项可得$x = -5 + 1 = -4$。
【答案】：$x_1 = 6$，$x_2 = -4$
- **步骤一：将方程左边变形为完全平方式**
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对$x^{2}-2x + 1$进行变形可得$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^2$，则原方程可化为$(x - 1)^2 = 25$。
- **步骤二：利用直接开平方法求解方程**
对$(x - 1)^2 = 25$两边同时开平方，可得$x - 1 = \pm\sqrt{25}=\pm 5$。
当$x - 1 = 5$时，移项可得$x = 5 + 1 = 6$。
当$x - 1 = -5$时，移项可得$x = -5 + 1 = -4$。
【答案】：$x_1 = 6$，$x_2 = -4$
2. [变式]解下列方程：
(1)$x^{2}-4x=0$； (2)$3(x-2)^{2}=x(x-2)$；
(3)$x^{2}-8x-4=0$； (4)$x^{2}+4x-5=0$；
(5)$x^{2}-4x-1=0$； (6)$3x^{2}-2x-2=0$；
(7)$2x^{2}+5x+1=0$； (8)$2x^{2}+3x=5$.
(1)$x^{2}-4x=0$； (2)$3(x-2)^{2}=x(x-2)$；
(3)$x^{2}-8x-4=0$； (4)$x^{2}+4x-5=0$；
(5)$x^{2}-4x-1=0$； (6)$3x^{2}-2x-2=0$；
(7)$2x^{2}+5x+1=0$； (8)$2x^{2}+3x=5$.
答案：
【解析】：
1. 对于方程$x^{2}-4x = 0$，提取公因式$x$可得$x(x - 4)=0$，则$x=0$或$x - 4 = 0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=4$。
2. 对于方程$3(x - 2)^{2}=x(x - 2)$，移项得$3(x - 2)^{2}-x(x - 2)=0$，提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)[3(x - 2)-x]=0$，即$(x - 2)(3x-6 - x)=0$，$(x - 2)(2x - 6)=0$，则$x - 2 = 0$或$2x - 6 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=3$。
3. 对于方程$x^{2}-8x - 4 = 0$，这里$a = 1$，$b=-8$，$c = - 4$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4\times1\times(-4)=64 + 16 = 80$，则$x=\frac{8\pm\sqrt{80}}{2}=\frac{8\pm4\sqrt{5}}{2}=4\pm2\sqrt{5}$，所以$x_{1}=4 + 2\sqrt{5}$，$x_{2}=4 - 2\sqrt{5}$。
4. 对于方程$x^{2}+4x - 5 = 0$，分解因式得$(x + 5)(x - 1)=0$，则$x + 5 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_{1}=-5$，$x_{2}=1$。
5. 对于方程$x^{2}-4x - 1 = 0$，这里$a = 1$，$b=-4$，$c = - 1$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times(-1)=16 + 4 = 20$，根据求根公式$x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{5}}{2}=2\pm\sqrt{5}$，所以$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$。
6. 对于方程$3x^{2}-2x - 2 = 0$，这里$a = 3$，$b=-2$，$c = - 2$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times3\times(-2)=4 + 24 = 28$，根据求根公式$x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2\times3}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}$，所以$x_{1}=\frac{1+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$。
7. 对于方程$2x^{2}+5x + 1 = 0$，这里$a = 2$，$b = 5$，$c = 1$，$\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4\times2\times1=25 - 8 = 17$，根据求根公式$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2\times2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}$，所以$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$。
8. 对于方程$2x^{2}+3x = 5$，移项化为一般式$2x^{2}+3x - 5 = 0$，分解因式得$(2x + 5)(x - 1)=0$，则$2x + 5 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_{1}=-\frac{5}{2}$，$x_{2}=1$。
【答案】：1.$x_{1}=0$，$x_{2}=4$ 2.$x_{1}=2$，$x_{2}=3$ 3.$x_{1}=4 + 2\sqrt{5}$，$x_{2}=4 - 2\sqrt{5}$ 4.$x_{1}=-5$，$x_{2}=1$ 5.$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$ 6.$x_{1}=\frac{1+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$ 7.$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$ 8.$x_{1}=-\frac{5}{2}$，$x_{2}=1$
1. 对于方程$x^{2}-4x = 0$，提取公因式$x$可得$x(x - 4)=0$，则$x=0$或$x - 4 = 0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=4$。
2. 对于方程$3(x - 2)^{2}=x(x - 2)$，移项得$3(x - 2)^{2}-x(x - 2)=0$，提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)[3(x - 2)-x]=0$，即$(x - 2)(3x-6 - x)=0$，$(x - 2)(2x - 6)=0$，则$x - 2 = 0$或$2x - 6 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=3$。
3. 对于方程$x^{2}-8x - 4 = 0$，这里$a = 1$，$b=-8$，$c = - 4$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4\times1\times(-4)=64 + 16 = 80$，则$x=\frac{8\pm\sqrt{80}}{2}=\frac{8\pm4\sqrt{5}}{2}=4\pm2\sqrt{5}$，所以$x_{1}=4 + 2\sqrt{5}$，$x_{2}=4 - 2\sqrt{5}$。
4. 对于方程$x^{2}+4x - 5 = 0$，分解因式得$(x + 5)(x - 1)=0$，则$x + 5 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_{1}=-5$，$x_{2}=1$。
5. 对于方程$x^{2}-4x - 1 = 0$，这里$a = 1$，$b=-4$，$c = - 1$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times(-1)=16 + 4 = 20$，根据求根公式$x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{5}}{2}=2\pm\sqrt{5}$，所以$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$。
6. 对于方程$3x^{2}-2x - 2 = 0$，这里$a = 3$，$b=-2$，$c = - 2$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times3\times(-2)=4 + 24 = 28$，根据求根公式$x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2\times3}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}$，所以$x_{1}=\frac{1+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$。
7. 对于方程$2x^{2}+5x + 1 = 0$，这里$a = 2$，$b = 5$，$c = 1$，$\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4\times2\times1=25 - 8 = 17$，根据求根公式$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2\times2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}$，所以$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$。
8. 对于方程$2x^{2}+3x = 5$，移项化为一般式$2x^{2}+3x - 5 = 0$，分解因式得$(2x + 5)(x - 1)=0$，则$2x + 5 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_{1}=-\frac{5}{2}$，$x_{2}=1$。
【答案】：1.$x_{1}=0$，$x_{2}=4$ 2.$x_{1}=2$，$x_{2}=3$ 3.$x_{1}=4 + 2\sqrt{5}$，$x_{2}=4 - 2\sqrt{5}$ 4.$x_{1}=-5$，$x_{2}=1$ 5.$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$ 6.$x_{1}=\frac{1+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$ 7.$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{17}}{4}$ 8.$x_{1}=-\frac{5}{2}$，$x_{2}=1$
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