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10. 定义：如果一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$满足$a + b + c = 0$，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.
(1)写出一个“凤凰”方程：__________；
(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；
(3)若方程$x^{2}+mx + n = 0$是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求mn的值.
(1)写出一个“凤凰”方程：__________；
(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；
(3)若方程$x^{2}+mx + n = 0$是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求mn的值.
答案：
【解析】：
1. 对于（1），根据“凤凰”方程的定义$a + b + c = 0$，只要满足此条件的一元二次方程即可，例如当$a = 1$，$b=-2$，$c = 1$时，方程$x^{2}-2x + 1 = 0$，此时$1+( - 2)+1=0$，所以$x^{2}-2x + 1 = 0$是一个“凤凰”方程（答案不唯一）。
2. 对于（2），把$x = 1$代入一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，可得$a\times1^{2}+b\times1 + c=a + b + c$，因为该方程是“凤凰”方程，满足$a + b + c = 0$，所以“凤凰”方程必定有一个根是$x = 1$。
3. 对于（3），因为方程$x^{2}+mx + n = 0$是“凤凰”方程，所以当$x = 1$时满足方程，即$1 + m + n = 0$，可得$n=-m - 1$。又因为方程$x^{2}+mx + n = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^{2}-4ac=m^{2}-4n = 0$，将$n=-m - 1$代入$m^{2}-4n = 0$中，得到$m^{2}-4(-m - 1)=0$，即$m^{2}+4m + 4 = 0$，根据完全平方公式$(m + 2)^{2}=0$，解得$m=-2$。把$m=-2$代入$n=-m - 1$，可得$n=-(-2)-1=1$，所以$mn=(-2)\times1=-2$。
【答案】：1.$x^{2}-2x + 1 = 0$（答案不唯一） 2.$x = 1$ 3.$-2$
1. 对于（1），根据“凤凰”方程的定义$a + b + c = 0$，只要满足此条件的一元二次方程即可，例如当$a = 1$，$b=-2$，$c = 1$时，方程$x^{2}-2x + 1 = 0$，此时$1+( - 2)+1=0$，所以$x^{2}-2x + 1 = 0$是一个“凤凰”方程（答案不唯一）。
2. 对于（2），把$x = 1$代入一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，可得$a\times1^{2}+b\times1 + c=a + b + c$，因为该方程是“凤凰”方程，满足$a + b + c = 0$，所以“凤凰”方程必定有一个根是$x = 1$。
3. 对于（3），因为方程$x^{2}+mx + n = 0$是“凤凰”方程，所以当$x = 1$时满足方程，即$1 + m + n = 0$，可得$n=-m - 1$。又因为方程$x^{2}+mx + n = 0$有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^{2}-4ac=m^{2}-4n = 0$，将$n=-m - 1$代入$m^{2}-4n = 0$中，得到$m^{2}-4(-m - 1)=0$，即$m^{2}+4m + 4 = 0$，根据完全平方公式$(m + 2)^{2}=0$，解得$m=-2$。把$m=-2$代入$n=-m - 1$，可得$n=-(-2)-1=1$，所以$mn=(-2)\times1=-2$。
【答案】：1.$x^{2}-2x + 1 = 0$（答案不唯一） 2.$x = 1$ 3.$-2$
11. 某玩具商店以每件60元的成本购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售，则每天可卖出20件. 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件.
(1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元?
(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多? 最多盈利多少元?
(1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元?
(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多? 最多盈利多少元?
答案：
【解析】：
1. （1）设每件玩具的售价应定为$x$元，则每件的利润为$(x - 60)$元。
因为原来售价$100$元时每天卖$20$件，现在售价为$x$元，降价了$(100 - x)$元，又因为每件玩具每降价$1$元，每天可多卖$2$件，所以每天的销售量为$20+2(100 - x)$件。
根据“总利润$=$每件利润$\times$销售量”，可列方程$(x - 60)[20 + 2(100 - x)]=1200$。
展开括号得$(x - 60)(20 + 200-2x)=1200$，即$(x - 60)(220 - 2x)=1200$。
进一步展开得$220x-2x^{2}-13200 + 120x = 1200$。
整理得$-2x^{2}+340x-14400 = 0$，两边同时除以$-2$得$x^{2}-170x + 7200 = 0$。
分解因式得$(x - 80)(x - 90)=0$。
解得$x_{1}=80$，$x_{2}=90$。
因为要尽快减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，所以$x = 80$。
2. （2）设每天的盈利为$y$元，售价为$x$元。
则$y=(x - 60)[20 + 2(100 - x)]$。
展开得$y=(x - 60)(20 + 200-2x)=(x - 60)(220 - 2x)$。
继续展开$y = 220x-2x^{2}-13200 + 120x=-2x^{2}+340x - 13200$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a=-2$，$b = 340$，$c=-13200$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{340}{2\times(-2)} = 85$。
因为$a=-2\lt0$，所以二次函数图象开口向下，在对称轴$x = 85$处取得最大值。
把$x = 85$代入$y=-2x^{2}+340x - 13200$得：
$y=-2\times85^{2}+340\times85 - 13200=-2\times7225+28900 - 13200=-14450+28900 - 13200 = 1250$。
【答案】：1. $80$元 2. 售价定为$85$元时，每天盈利最多，最多盈利$1250$元
1. （1）设每件玩具的售价应定为$x$元，则每件的利润为$(x - 60)$元。
因为原来售价$100$元时每天卖$20$件，现在售价为$x$元，降价了$(100 - x)$元，又因为每件玩具每降价$1$元，每天可多卖$2$件，所以每天的销售量为$20+2(100 - x)$件。
根据“总利润$=$每件利润$\times$销售量”，可列方程$(x - 60)[20 + 2(100 - x)]=1200$。
展开括号得$(x - 60)(20 + 200-2x)=1200$，即$(x - 60)(220 - 2x)=1200$。
进一步展开得$220x-2x^{2}-13200 + 120x = 1200$。
整理得$-2x^{2}+340x-14400 = 0$，两边同时除以$-2$得$x^{2}-170x + 7200 = 0$。
分解因式得$(x - 80)(x - 90)=0$。
解得$x_{1}=80$，$x_{2}=90$。
因为要尽快减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，所以$x = 80$。
2. （2）设每天的盈利为$y$元，售价为$x$元。
则$y=(x - 60)[20 + 2(100 - x)]$。
展开得$y=(x - 60)(20 + 200-2x)=(x - 60)(220 - 2x)$。
继续展开$y = 220x-2x^{2}-13200 + 120x=-2x^{2}+340x - 13200$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a=-2$，$b = 340$，$c=-13200$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{340}{2\times(-2)} = 85$。
因为$a=-2\lt0$，所以二次函数图象开口向下，在对称轴$x = 85$处取得最大值。
把$x = 85$代入$y=-2x^{2}+340x - 13200$得：
$y=-2\times85^{2}+340\times85 - 13200=-2\times7225+28900 - 13200=-14450+28900 - 13200 = 1250$。
【答案】：1. $80$元 2. 售价定为$85$元时，每天盈利最多，最多盈利$1250$元
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