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1. [教材原题]某种商品每件的进价为 30 元,在某段时间内若以每件 x 元出售,可卖出$(100 - x)$件,应如何定价才能使利润最大?最大利润是多少元?
答案：
【解析】：本题可先根据利润的计算公式列出利润关于定价$x$的函数表达式，再根据二次函数的性质求出利润的最大值以及此时的定价。
- **步骤一：根据利润公式列出函数表达式**
利润$=$每件的利润$\times$销售量。
已知该商品每件的进价为$30$元，售价为$x$元，则每件的利润为$(x - 30)$元；又已知可卖出$(100 - x)$件，所以总利润$y=(x - 30)(100 - x)$。
将$(x - 30)(100 - x)$展开可得：
$\begin{aligned}y&=(x - 30)(100 - x)\\&=100x - x^2 - 3000 + 30x\\&=-x^2 + 130x - 3000\end{aligned}$
- **步骤二：根据二次函数性质求利润最大值及对应的定价**
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，函数图象开口向下，函数在$x=-\frac{b}{2a}$处取得最大值$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
在函数$y=-x^2 + 130x - 3000$中，$a=-1$，$b=130$，$c=-3000$，因为$a=-1\lt0$，所以函数图象开口向下，存在最大值。
根据上述公式可得，当$x=-\frac{130}{2\times(-1)} = 65$时，$y$有最大值，将$a=-1$，$b=130$，$c=-3000$代入$\frac{4ac - b^2}{4a}$可得：
$\begin{aligned}\frac{4\times(-1)\times(-3000) - 130^2}{4\times(-1)}&=\frac{12000 - 16900}{-4}\\&=\frac{-4900}{-4}\\&= 1225\end{aligned}$
【答案】：定价为$65$元时才能使利润最大，最大利润是$1225$元。
- **步骤一：根据利润公式列出函数表达式**
利润$=$每件的利润$\times$销售量。
已知该商品每件的进价为$30$元，售价为$x$元，则每件的利润为$(x - 30)$元；又已知可卖出$(100 - x)$件，所以总利润$y=(x - 30)(100 - x)$。
将$(x - 30)(100 - x)$展开可得：
$\begin{aligned}y&=(x - 30)(100 - x)\\&=100x - x^2 - 3000 + 30x\\&=-x^2 + 130x - 3000\end{aligned}$
- **步骤二：根据二次函数性质求利润最大值及对应的定价**
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，函数图象开口向下，函数在$x=-\frac{b}{2a}$处取得最大值$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
在函数$y=-x^2 + 130x - 3000$中，$a=-1$，$b=130$，$c=-3000$，因为$a=-1\lt0$，所以函数图象开口向下，存在最大值。
根据上述公式可得，当$x=-\frac{130}{2\times(-1)} = 65$时，$y$有最大值，将$a=-1$，$b=130$，$c=-3000$代入$\frac{4ac - b^2}{4a}$可得：
$\begin{aligned}\frac{4\times(-1)\times(-3000) - 130^2}{4\times(-1)}&=\frac{12000 - 16900}{-4}\\&=\frac{-4900}{-4}\\&= 1225\end{aligned}$
【答案】：定价为$65$元时才能使利润最大，最大利润是$1225$元。
2. [变式]某大米的成本为每袋 40 元,当售价为每袋 80 元时,每天可销售 100 袋,为了吸引更多顾客,采取降价措施,据市场调查反映:销售单价每降 1 元,则每天可多销售 5 袋,设每袋大米的售价为 x 元(x 为正整数),每天获得的利润为 w 元,当销售单价为多少元时,每天获得的利润最大,最大利润是多少?
答案：
【解析】：本题可先根据利润的计算公式列出利润$w$关于售价$x$的函数关系式，再根据二次函数的性质求出利润的最大值以及此时对应的售价。
- **步骤一：分析每袋大米的利润和销售量与售价$x$的关系**
每袋大米的利润：已知大米的成本为每袋$40$元，售价为每袋$x$元，根据“利润$=$售价$-$成本”，可得每袋大米的利润为$(x - 40)$元。
每天的销售量：当售价为每袋$80$元时，每天可销售$100$袋，销售单价每降$1$元，每天可多销售$5$袋，那么售价从$80$元降到$x$元，降低了$(80 - x)$元，则每天多销售的袋数为$5(80 - x)$袋，所以每天的销售量为$[100 + 5(80 - x)]$袋。
- **步骤二：列出利润$w$关于售价$x$的函数关系式**
根据“总利润$=$每袋利润$\times$销售量”，可得：
$w=(x - 40)[100 + 5(80 - x)]$
化简该式：
$\begin{aligned}w&=(x - 40)(100 + 400 - 5x)\\&=(x - 40)(500 - 5x)\\&=500x - 5x^2 - 20000 + 200x\\&=-5x^2 + 700x - 20000\end{aligned}$
- **步骤三：求利润$w$的最大值以及此时对应的售价$x$**
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，函数图象开口向下，函数在$x=-\frac{b}{2a}$处取得最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
在函数$w=-5x^2 + 700x - 20000$中，$a=-5\lt0$，$b=700$，$c=-20000$，则：
$x=-\frac{700}{2\times(-5)} = 70$
将$x = 70$代入$w$的表达式可得：
$w=-5\times70^2 + 700\times70 - 20000$
$=-5\times4900 + 49000 - 20000$
$=-24500 + 49000 - 20000$
$=4500$
即当$x = 70$时，$w$有最大值$4500$。
【答案】：当销售单价为$70$元时，每天获得的利润最大，最大利润是$4500$元。
- **步骤一：分析每袋大米的利润和销售量与售价$x$的关系**
每袋大米的利润：已知大米的成本为每袋$40$元，售价为每袋$x$元，根据“利润$=$售价$-$成本”，可得每袋大米的利润为$(x - 40)$元。
每天的销售量：当售价为每袋$80$元时，每天可销售$100$袋，销售单价每降$1$元，每天可多销售$5$袋，那么售价从$80$元降到$x$元，降低了$(80 - x)$元，则每天多销售的袋数为$5(80 - x)$袋，所以每天的销售量为$[100 + 5(80 - x)]$袋。
- **步骤二：列出利润$w$关于售价$x$的函数关系式**
根据“总利润$=$每袋利润$\times$销售量”，可得：
$w=(x - 40)[100 + 5(80 - x)]$
化简该式：
$\begin{aligned}w&=(x - 40)(100 + 400 - 5x)\\&=(x - 40)(500 - 5x)\\&=500x - 5x^2 - 20000 + 200x\\&=-5x^2 + 700x - 20000\end{aligned}$
- **步骤三：求利润$w$的最大值以及此时对应的售价$x$**
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，函数图象开口向下，函数在$x=-\frac{b}{2a}$处取得最大值$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
在函数$w=-5x^2 + 700x - 20000$中，$a=-5\lt0$，$b=700$，$c=-20000$，则：
$x=-\frac{700}{2\times(-5)} = 70$
将$x = 70$代入$w$的表达式可得：
$w=-5\times70^2 + 700\times70 - 20000$
$=-5\times4900 + 49000 - 20000$
$=-24500 + 49000 - 20000$
$=4500$
即当$x = 70$时，$w$有最大值$4500$。
【答案】：当销售单价为$70$元时，每天获得的利润最大，最大利润是$4500$元。
3. [变式][2024 济宁中考]某商场以每件 80 元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式;
(2)在这段时间内,若销售单价不低于 100 元,且商场还要完成不少于 220 件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得的利润最大?最大利润是多少?
(1)求这段时间内 y 与 x 之间的函数解析式;
(2)在这段时间内,若销售单价不低于 100 元,且商场还要完成不少于 220 件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得的利润最大?最大利润是多少?
答案：
【解析】：
(1)设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b(k\neq0)$。
将$(100,300)$，$(120,200)$代入$y = kx + b$中，可得$\begin{cases}100k + b = 300\\120k + b = 200\end{cases}$。
用$100k + b = 300$减去$120k + b = 200$，即$(100k + b)-(120k + b)=300 - 200$，$100k + b - 120k - b = 100$，$-20k = 100$，解得$k=-5$。
把$k = - 5$代入$100k + b = 300$，得$100\times(-5)+b = 300$，$-500 + b = 300$，解得$b = 800$。
所以$y$与$x$之间的函数解析式为$y=-5x + 800$。
(2)由题意得$\begin{cases}x\geqslant100\\-5x + 800\geqslant220\end{cases}$。
解不等式$-5x + 800\geqslant220$，$-5x\geqslant220 - 800$，$-5x\geqslant-580$，$x\leqslant116$。
所以$100\leqslant x\leqslant116$。
设商场获得的利润为$w$元，$w=(x - 80)y=(x - 80)(-5x + 800)$。
展开得$w=-5x^{2}+800x + 400x - 64000=-5x^{2}+1200x - 64000$。
对于二次函数$w=-5x^{2}+1200x - 64000$，$a=-5\lt0$，对称轴为$x =-\frac{b}{2a}=-\frac{1200}{2\times(-5)} = 120$。
因为$a=-5\lt0$，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧$w$随$x$的增大而增大。
因为$100\leqslant x\leqslant116$，所以当$x = 116$时，$w$有最大值。
$w=-5\times116^{2}+1200\times116 - 64000$
$=-5\times13456+139200 - 64000$
$=-67280+139200 - 64000$
$=7920$。
【答案】：
(1)$y=-5x + 800$；
(2)当销售单价为$116$元时，商场获得的利润最大，最大利润是$7920$元。
(1)设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b(k\neq0)$。
将$(100,300)$，$(120,200)$代入$y = kx + b$中，可得$\begin{cases}100k + b = 300\\120k + b = 200\end{cases}$。
用$100k + b = 300$减去$120k + b = 200$，即$(100k + b)-(120k + b)=300 - 200$，$100k + b - 120k - b = 100$，$-20k = 100$，解得$k=-5$。
把$k = - 5$代入$100k + b = 300$，得$100\times(-5)+b = 300$，$-500 + b = 300$，解得$b = 800$。
所以$y$与$x$之间的函数解析式为$y=-5x + 800$。
(2)由题意得$\begin{cases}x\geqslant100\\-5x + 800\geqslant220\end{cases}$。
解不等式$-5x + 800\geqslant220$，$-5x\geqslant220 - 800$，$-5x\geqslant-580$，$x\leqslant116$。
所以$100\leqslant x\leqslant116$。
设商场获得的利润为$w$元，$w=(x - 80)y=(x - 80)(-5x + 800)$。
展开得$w=-5x^{2}+800x + 400x - 64000=-5x^{2}+1200x - 64000$。
对于二次函数$w=-5x^{2}+1200x - 64000$，$a=-5\lt0$，对称轴为$x =-\frac{b}{2a}=-\frac{1200}{2\times(-5)} = 120$。
因为$a=-5\lt0$，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧$w$随$x$的增大而增大。
因为$100\leqslant x\leqslant116$，所以当$x = 116$时，$w$有最大值。
$w=-5\times116^{2}+1200\times116 - 64000$
$=-5\times13456+139200 - 64000$
$=-67280+139200 - 64000$
$=7920$。
【答案】：
(1)$y=-5x + 800$；
(2)当销售单价为$116$元时，商场获得的利润最大，最大利润是$7920$元。
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