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12. 解方程：
(1)$(3x-1)^{2}-4=0$； (2)$3x(x-3)+2x-6=0$.
(1)$(3x-1)^{2}-4=0$； (2)$3x(x-3)+2x-6=0$.
答案：
【解析】：1. 对于方程$(3x - 1)^2 - 4 = 0$，首先将方程进行变形可得$(3x - 1)^2 = 4$，然后根据平方根的定义，$3x - 1=\pm\sqrt{4}=\pm2$。当$3x - 1 = 2$时，$3x=2 + 1$，即$3x = 3$，解得$x = 1$；当$3x - 1=-2$时，$3x=-2 + 1$，即$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
2. 对于方程$3x(x - 3)+2x - 6 = 0$，先对式子进行变形，$2x - 6$可化为$2(x - 3)$，则原方程变为$3x(x - 3)+2(x - 3)=0$，然后提取公因式$(x - 3)$得到$(x - 3)(3x + 2)=0$。根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x - 3 = 0$或$3x + 2 = 0$。当$x - 3 = 0$时，解得$x = 3$；当$3x + 2 = 0$时，$3x=-2$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
【答案】：1.$x_1 = 1$，$x_2=-\frac{1}{3}$ 2.$x_1 = 3$，$x_2=-\frac{2}{3}$
2. 对于方程$3x(x - 3)+2x - 6 = 0$，先对式子进行变形，$2x - 6$可化为$2(x - 3)$，则原方程变为$3x(x - 3)+2(x - 3)=0$，然后提取公因式$(x - 3)$得到$(x - 3)(3x + 2)=0$。根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，可得$x - 3 = 0$或$3x + 2 = 0$。当$x - 3 = 0$时，解得$x = 3$；当$3x + 2 = 0$时，$3x=-2$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
【答案】：1.$x_1 = 1$，$x_2=-\frac{1}{3}$ 2.$x_1 = 3$，$x_2=-\frac{2}{3}$
13. 如图，将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$\triangle AEF$，点$E$恰好落在$BC$上，$EF$交$AC$于点$G$. 若$∠B=65^{\circ}$，$∠C=25^{\circ}$，求$∠FGC$的度数.
答案：
【解析】：
- 首先求$\angle BAE$：
因为$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$\triangle AEF$，所以$AB = AE$，$\angle B=\angle AEB = 65^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle ABE$中，$\angle BAE=180^{\circ}-\angle B - \angle AEB=180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}$。
然后求$\angle CAE$：
已知$\angle B = 65^{\circ}$，$\angle C = 25^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-65^{\circ}-25^{\circ}=90^{\circ}$。
那么$\angle CAE=\angle BAC - \angle BAE=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
接着求$\angle F$：
由旋转性质可知$\angle F=\angle C = 25^{\circ}$。
最后求$\angle FGC$：
根据三角形外角性质，$\angle FGC=\angle F+\angle CAE$。
把$\angle F = 25^{\circ}$，$\angle CAE = 40^{\circ}$代入可得$\angle FGC=25^{\circ}+40^{\circ}=65^{\circ}$。
【答案】：$65^{\circ}$
- 首先求$\angle BAE$：
因为$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$\triangle AEF$，所以$AB = AE$，$\angle B=\angle AEB = 65^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle ABE$中，$\angle BAE=180^{\circ}-\angle B - \angle AEB=180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}$。
然后求$\angle CAE$：
已知$\angle B = 65^{\circ}$，$\angle C = 25^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-65^{\circ}-25^{\circ}=90^{\circ}$。
那么$\angle CAE=\angle BAC - \angle BAE=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
接着求$\angle F$：
由旋转性质可知$\angle F=\angle C = 25^{\circ}$。
最后求$\angle FGC$：
根据三角形外角性质，$\angle FGC=\angle F+\angle CAE$。
把$\angle F = 25^{\circ}$，$\angle CAE = 40^{\circ}$代入可得$\angle FGC=25^{\circ}+40^{\circ}=65^{\circ}$。
【答案】：$65^{\circ}$
14. 如图，$AB$为$\odot O$的直径，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$OD$交$AC$于点$E$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.
(1)求证：$OD// BC$；
(2)若$AC=10$，$DE=4$，求$\odot O$的半径.
(1)求证：$OD// BC$；
(2)若$AC=10$，$DE=4$，求$\odot O$的半径.
答案：
【解析】：
(1)
因为$AB$为$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据垂径定理的推论（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），可得$OD\perp AC$，即$\angle AEO = 90^{\circ}$。
所以$\angle AEO=\angle ACB$，根据同位角相等，两直线平行，可得$OD// BC$。
(2)
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA = OD=r$，$OE=r - 4$。
因为$OD\perp AC$，所以$AE=\frac{1}{2}AC$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），已知$AC = 10$，则$AE = 5$。
在$Rt\triangle AOE$中，根据勾股定理$OA^{2}=AE^{2}+OE^{2}$，即$r^{2}=5^{2}+(r - 4)^{2}$。
展开$(r - 4)^{2}$得$r^{2}=25+r^{2}-8r + 16$。
移项可得$8r=25 + 16$，即$8r=41$，解得$r=\frac{41}{8}$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析，证得$OD// BC$。
(2) $\odot O$的半径为$\frac{41}{8}$。
(1)
因为$AB$为$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据垂径定理的推论（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），可得$OD\perp AC$，即$\angle AEO = 90^{\circ}$。
所以$\angle AEO=\angle ACB$，根据同位角相等，两直线平行，可得$OD// BC$。
(2)
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA = OD=r$，$OE=r - 4$。
因为$OD\perp AC$，所以$AE=\frac{1}{2}AC$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），已知$AC = 10$，则$AE = 5$。
在$Rt\triangle AOE$中，根据勾股定理$OA^{2}=AE^{2}+OE^{2}$，即$r^{2}=5^{2}+(r - 4)^{2}$。
展开$(r - 4)^{2}$得$r^{2}=25+r^{2}-8r + 16$。
移项可得$8r=25 + 16$，即$8r=41$，解得$r=\frac{41}{8}$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析，证得$OD// BC$。
(2) $\odot O$的半径为$\frac{41}{8}$。
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