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例1. 抛物线$y=2x^{2}+12x+23$的顶点坐标为__________.
易错防范：(1)常见错解$(3,5)$，能正确将抛物线化为顶点式$y=2(x+3)^{2}+5$，但写错顶点坐标，可令$x+3=0$，得到对称轴为直线$x=-3$；(2)其他错解，因为化为顶点式时出错.
易错防范：(1)常见错解$(3,5)$，能正确将抛物线化为顶点式$y=2(x+3)^{2}+5$，但写错顶点坐标，可令$x+3=0$，得到对称轴为直线$x=-3$；(2)其他错解，因为化为顶点式时出错.
答案：
$(-3,5)$
例2. 将抛物线$y=-2(x-1)^{2}+3$向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是__________________.
易错防范：错解“$y=-2(x-4)^{2}+1$”等，因为没有弄清抛物线平移方向，在确定顶点式中$h$，$k$的值时出错. 有关抛物线平移的问题可根据“左加右减，上加下减”的平移规律，算出正确结果；或结合图形利用顶点坐标的平移，从而避免出错.
易错防范：错解“$y=-2(x-4)^{2}+1$”等，因为没有弄清抛物线平移方向，在确定顶点式中$h$，$k$的值时出错. 有关抛物线平移的问题可根据“左加右减，上加下减”的平移规律，算出正确结果；或结合图形利用顶点坐标的平移，从而避免出错.
答案：
$y=-2(x + 2)^{2}+5$
例3. 当$m$为何值时，函数$y=mx^{2}-6x+1$（$m$是常数）的图象与$x$轴只有一个公共点.
错解：∵函数的图象与$x$轴只有一个公共点 正解：
∴方程$mx^{2}-6x+1=0$有两个相等实数根
∴$\Delta=36-4m=0$
解得$m=9$
∴当$m$的值为9时，函数$y=mx^{2}-6x+1$
（$m$是常数）的图象与$x$轴只有一个公共点.
易错防范：本题中的函数没有指明是一次函数还是二次函数，易出现只将它看成是二次函数的错误. 解答此类题时，要考虑周全，注意分情况讨论.
错解：∵函数的图象与$x$轴只有一个公共点 正解：
∴方程$mx^{2}-6x+1=0$有两个相等实数根
∴$\Delta=36-4m=0$
解得$m=9$
∴当$m$的值为9时，函数$y=mx^{2}-6x+1$
（$m$是常数）的图象与$x$轴只有一个公共点.
易错防范：本题中的函数没有指明是一次函数还是二次函数，易出现只将它看成是二次函数的错误. 解答此类题时，要考虑周全，注意分情况讨论.
答案：
【解析】：本题中的函数没有指明是一次函数还是二次函数，需要分情况讨论。当$m = 0$时，函数$y = mx^{2}-6x + 1$变为$y=-6x + 1$，这是一个一次函数，一次函数的图象是一条直线，与$x$轴有且只有一个公共点；当$m\neq0$时，函数$y = mx^{2}-6x + 1$是二次函数，因为函数图象与$x$轴只有一个公共点，所以对应的一元二次方程$mx^{2}-6x + 1 = 0$有两个相等实数根，根据判别式$\Delta=b^{2}-4ac$（其中$a = m$，$b=-6$，$c = 1$），可得$\Delta = (-6)^{2}-4m=36 - 4m = 0$，解得$m = 9$。
【答案】：本题应分两种情况讨论：
①当$m = 0$时，函数$y=-6x + 1$是一次函数，其图象与$x$轴只有一个公共点；
②当$m\neq0$时，函数$y = mx^{2}-6x + 1$是二次函数，因为函数图象与$x$轴只有一个公共点，所以$\Delta=(-6)^{2}-4m = 0$，即$36-4m = 0$，解得$m = 9$。
综上，当$m = 0$或$m = 9$时，函数$y = mx^{2}-6x + 1$（$m$是常数）的图象与$x$轴只有一个公共点。
【答案】：本题应分两种情况讨论：
①当$m = 0$时，函数$y=-6x + 1$是一次函数，其图象与$x$轴只有一个公共点；
②当$m\neq0$时，函数$y = mx^{2}-6x + 1$是二次函数，因为函数图象与$x$轴只有一个公共点，所以$\Delta=(-6)^{2}-4m = 0$，即$36-4m = 0$，解得$m = 9$。
综上，当$m = 0$或$m = 9$时，函数$y = mx^{2}-6x + 1$（$m$是常数）的图象与$x$轴只有一个公共点。
例4. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件. 市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件. 物价部门规定：销售单价不能超过15元. 设该纪念品的销售单价为$x$元，日销售利润为$w$元. 求当$x$为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润.
错解：根据题意，得$w=(x-6)[200-10(x-8)]$ 正解：
$=-10(x-17)^{2}+1210$
∵$-10＜0$
∴当$x＜17$时，$w$随$x$的增大而增大
∴当$x=17$时，$w_{最大}=1210$
答：当$x$为17时，日销售利润最大，
最大利润为1210元.
易错防范：忽略实际问题中的限定条件“销售单价不能超过15元”而出错.
错解：根据题意，得$w=(x-6)[200-10(x-8)]$ 正解：
$=-10(x-17)^{2}+1210$
∵$-10＜0$
∴当$x＜17$时，$w$随$x$的增大而增大
∴当$x=17$时，$w_{最大}=1210$
答：当$x$为17时，日销售利润最大，
最大利润为1210元.
易错防范：忽略实际问题中的限定条件“销售单价不能超过15元”而出错.
答案：
【解析】：首先根据利润的计算公式，利润等于每件的利润乘以销售量。已知进价为$6$元，销售单价为$x$元，则每件的利润为$(x - 6)$元；当销售单价定为$8$元时，每天可以销售$200$件，销售单价每提高$1$元，日销量将会减少$10$件，那么销售单价为$x$元时，日销量为$[200 - 10(x - 8)]$件，所以日销售利润$w=(x - 6)[200 - 10(x - 8)]$，将其展开并配方可得$w=-10(x - 17)^{2}+1210$。因为二次项系数$-10\lt0$，所以该函数图象开口向下，在对称轴$x = 17$左侧$w$随$x$的增大而增大。但题目中物价部门规定销售单价不能超过$15$元，而$15\lt17$，所以在$x$的取值范围$6\lt x\leqslant15$内，$w$随$x$的增大而增大，那么当$x = 15$时，$w$能取得最大值，把$x = 15$代入$w=-10(x - 17)^{2}+1210$可得$w=-10\times(15 - 17)^{2}+1210=-10\times4 + 1210 = 1170$。
【答案】：根据题意，得$w=(x - 6)[200 - 10(x - 8)]=-10(x - 17)^{2}+1210$。
∵$-10＜0$，
∴当$x＜17$时，$w$随$x$的增大而增大。
又
∵销售单价不能超过$15$元，即$x\leqslant15$，
∴当$x = 15$时，$w$有最大值，$w_{最大}=-10\times(15 - 17)^{2}+1210 = 1170$。
答：当$x$为$15$时，日销售利润最大，最大利润为$1170$元。
【答案】：根据题意，得$w=(x - 6)[200 - 10(x - 8)]=-10(x - 17)^{2}+1210$。
∵$-10＜0$，
∴当$x＜17$时，$w$随$x$的增大而增大。
又
∵销售单价不能超过$15$元，即$x\leqslant15$，
∴当$x = 15$时，$w$有最大值，$w_{最大}=-10\times(15 - 17)^{2}+1210 = 1170$。
答：当$x$为$15$时，日销售利润最大，最大利润为$1170$元。
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