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11. (14分)如图,点$A$在直线$l$外. 用两种不同的方法作$\odot O$,使$\odot O$过$A$点,且与直线$l$相切.
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
答案：
【解析】：
方法一：
1. 过点$A$作直线$l$的垂线$AB$，垂足为$B$。
2. 作线段$AB$的垂直平分线$m$。
3. 在直线$m$上取一点$O_1$（$O_1$不与$AB$中点重合），以$O_1$为圆心，$O_1A$（或$O_1B$）为半径作圆$\odot O_1$，则$\odot O_1$过$A$点且与直线$l$相切。
方法二：
1. 作一个与直线$l$相切的辅助圆$\odot C$（任意作一个与$l$相切的圆即可）。
2. 连接$AC$，作$AC$的垂直平分线$n$，交$AC$于点$D$。
3. 过点$D$作直线$l$的平行线$p$，交$\odot C$于点$O_2$（取其中一个交点）。
4. 以$O_2$为圆心，$O_2A$为半径作圆$\odot O_2$，则$\odot O_2$过$A$点且与直线$l$相切。
【答案】：作出符合要求的两个圆（根据上述方法作出的两个圆，保留作图痕迹）。
方法一：
1. 过点$A$作直线$l$的垂线$AB$，垂足为$B$。
2. 作线段$AB$的垂直平分线$m$。
3. 在直线$m$上取一点$O_1$（$O_1$不与$AB$中点重合），以$O_1$为圆心，$O_1A$（或$O_1B$）为半径作圆$\odot O_1$，则$\odot O_1$过$A$点且与直线$l$相切。
方法二：
1. 作一个与直线$l$相切的辅助圆$\odot C$（任意作一个与$l$相切的圆即可）。
2. 连接$AC$，作$AC$的垂直平分线$n$，交$AC$于点$D$。
3. 过点$D$作直线$l$的平行线$p$，交$\odot C$于点$O_2$（取其中一个交点）。
4. 以$O_2$为圆心，$O_2A$为半径作圆$\odot O_2$，则$\odot O_2$过$A$点且与直线$l$相切。
【答案】：作出符合要求的两个圆（根据上述方法作出的两个圆，保留作图痕迹）。
12. (10分)福州是一座蕴存着绚丽风光,并拥有深厚人文底蕴的城市. 它散落分布着很多历史悠久的古村落. 现福州某乡镇景区需要复原一个古代圆拱形木门(示意图),已知木门半径$OC=5m$,测得门槛$CD=6m$,门的高$AE\perp CD$于点$E$,且$AE$过点$O$,求$AE$的长.
答案：
【解析】：
因为$AE\perp CD$，$AE$过圆心$O$，$CD = 6m$，根据垂径定理可知$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\times6 = 3m$。
在$Rt\triangle OCE$中，已知$OC = 5m$，$CE = 3m$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$OE=\sqrt{OC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4m$。
又因为$OA=OC = 5m$，所以$AE=OA + OE=5 + 4=9m$。
【答案】：$9m$
因为$AE\perp CD$，$AE$过圆心$O$，$CD = 6m$，根据垂径定理可知$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\times6 = 3m$。
在$Rt\triangle OCE$中，已知$OC = 5m$，$CE = 3m$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$OE=\sqrt{OC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4m$。
又因为$OA=OC = 5m$，所以$AE=OA + OE=5 + 4=9m$。
【答案】：$9m$
13. (16分)如图,$AB$为$\odot O$的直径,点$C$,$F$在半圆上,过点$C$的直线与$OF$的延长线相交于点$D$,与$AB$的延长线相交于点$P$,$AC$与$OF$相交于点$E$,$DC=DE$,$OD\perp AB$.
(1)求证:$PC$为$\odot O$的切线;
(2)若$OB=BP$,$AB=4$,求点$C$到$AP$的距离.
(1)求证:$PC$为$\odot O$的切线;
(2)若$OB=BP$,$AB=4$,求点$C$到$AP$的距离.
答案：
【解析】：
### $(1)$ 证明$PC$为$\odot O$的切线
连接$OC$。
因为$OA = OC$，所以$\angle OAC=\angle OCA$。
因为$OD\perp AB$，所以$\angle AOE = 90^{\circ}$，则$\angle OEA+\angle OAC = 90^{\circ}$。
又因为$DC = DE$，所以$\angle DCE=\angle DEC$。
而$\angle DEC=\angle OEA$（对顶角相等），所以$\angle DCE=\angle OEA$。
那么$\angle DCE+\angle OCA=\angle OEA+\angle OAC = 90^{\circ}$，即$\angle DCO = 90^{\circ}$。
因为$OC$是$\odot O$的半径，且$OC\perp DC$，所以$PC$为$\odot O$的切线。
### $(2)$ 求点$C$到$AP$的距离
已知$AB = 4$，则$OB=OC = 2$。
因为$OB = BP$，所以$OP=OB + BP=4$。
在$Rt\triangle OCP$中，$\sin P=\frac{OC}{OP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以$\angle P = 30^{\circ}$。
因为$OD\perp AB$，$PC$为切线，$\angle DCO = 90^{\circ}$，$\angle P = 30^{\circ}$，所以$\angle COB = 60^{\circ}$。
过点$C$作$CH\perp AB$于点$H$。
在$Rt\triangle OCH$中，$\angle COH = 60^{\circ}$，$OC = 2$，则$\sin\angle COH=\frac{CH}{OC}$。
所以$CH = OC\cdot\sin60^{\circ}=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即点$C$到$AP$的距离为$\sqrt{3}$。
【答案】：
$(1)$ 证明如上；$(2)$$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
### $(1)$ 证明$PC$为$\odot O$的切线
连接$OC$。
因为$OA = OC$，所以$\angle OAC=\angle OCA$。
因为$OD\perp AB$，所以$\angle AOE = 90^{\circ}$，则$\angle OEA+\angle OAC = 90^{\circ}$。
又因为$DC = DE$，所以$\angle DCE=\angle DEC$。
而$\angle DEC=\angle OEA$（对顶角相等），所以$\angle DCE=\angle OEA$。
那么$\angle DCE+\angle OCA=\angle OEA+\angle OAC = 90^{\circ}$，即$\angle DCO = 90^{\circ}$。
因为$OC$是$\odot O$的半径，且$OC\perp DC$，所以$PC$为$\odot O$的切线。
### $(2)$ 求点$C$到$AP$的距离
已知$AB = 4$，则$OB=OC = 2$。
因为$OB = BP$，所以$OP=OB + BP=4$。
在$Rt\triangle OCP$中，$\sin P=\frac{OC}{OP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以$\angle P = 30^{\circ}$。
因为$OD\perp AB$，$PC$为切线，$\angle DCO = 90^{\circ}$，$\angle P = 30^{\circ}$，所以$\angle COB = 60^{\circ}$。
过点$C$作$CH\perp AB$于点$H$。
在$Rt\triangle OCH$中，$\angle COH = 60^{\circ}$，$OC = 2$，则$\sin\angle COH=\frac{CH}{OC}$。
所以$CH = OC\cdot\sin60^{\circ}=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即点$C$到$AP$的距离为$\sqrt{3}$。
【答案】：
$(1)$ 证明如上；$(2)$$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
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