《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 设函数$f(x)=2x+\sin x$，则 （ ）
A. $f(1)＞f(2)$
B. $f(1)＜f(2)$
C. $f(1)=f(2)$
D. 以上都不正确

答案： B　f'(x)=2+cosx＞0,故∮(x)是R上的增函数,故f
(1)＜∮
(2).故选B.

2. 已知$x＞0$，$a = x$，$b = x-\frac{x^{2}}{2}$，$c=\ln(1 + x)$，则 （ ）
A. $c ＜ b ＜ a$
B. $b ＜ a ＜ c$
C. $c ＜ a ＜ b$
D. $b ＜ c ＜ a$

答案： D　令∮(x)=a−c=x−1n(1+x),x＞0,则f'(x)=
　1−$\frac{1}{1+x}$＞0,
∴函数∮(x)在(0,+ao)上单调递增,
∴f(x)＞f
(0)=0,可得a＞c.
　令g(x)=c−b=1n(1+x)−x+$\frac{x}{2}$,x＞0,
　则g'(x)=$\frac{1}{1+x}$−1+x=$\frac{x}{1+x}$2＞o,
∴函数g(x)在(0,+oo)上单调递增,
∴g(x)＞g
(0)=0,可得c＞b.
　综上可得a＞c＞b.

3. 已知函数$f(x)=x-\sin x$，则不等式$f(x + 1)+f(2 - 2x)＞0$的解集是 （ ）
A. $(-\infty,-\frac{1}{3})$
B. $(-\frac{1}{3},+\infty)$
C. $(-\infty,3)$
D. $(3,+\infty)$

答案： C　　因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(−x)=−x+sinx=−∮(x),所以函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1−cosx≥0,则函数f(x)是增函数,则不等式f(x+1)+f(2−2x)＞0等价为f(x+1)＞−f(2−2x)=f(2x−2),即x+1＞2x−2,解得x＜3,故不等式的解集为(一∞o,3).故选C,

4. 已知函数$f(x)=-x^{3}+ax^{2}-x - 1$在$\mathbf{R}$上是单调函数，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3},+\infty)$
B. $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$
C. $(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)$
D. $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$

答案： B　∮'(x)=−3x²²+2ax−1.由题意可知f'(x)≤0在R 上恒成立,所以(2a)²−4×(−3)×(−1)≤0,解得$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$

5. (2024·陕西西安中学期末) 已知函数$f(x)=\sqrt{x}+\ln x$，则下列选项正确的是 （ ）
A. $f(\mathrm{e})＜f(\pi)＜f(2.7)$
B. $f(\pi)＜f(\mathrm{e})＜f(2.7)$
C. $f(\mathrm{e})＜f(2.7)＜f(\pi)$
D. $f(2.7)＜f(\mathrm{e})＜f(\pi)$

答案： D　因为函数f(x)=$\sqrt{x}$+lnx(x＞0),所以f'(x)=
　$\frac{1}{2\sqrt{x}}$+$\frac{1}{x}$＞0,所以函数f(x)在(0,十oo)上单调递增.又因为2.7＜e＜π,所以f(2.7)＜∮(e)＜f(π).
　故选D.

6. 若函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{2}x^{2}-bx$存在单调递减区间，则实数$b$的取值范围为 （ ）
A. $[2,+\infty)$
B. $(2,+\infty)$
C. $(-\infty,2)$
D. $(-\infty,2]$

答案： B　由f(x)=lnx+$\frac{1}{2}$x²−bx,
　可得f'(x)=$\frac{x²−bx+1}{x}$(x＞0).
　由题意可得存在x＞0,使得∮'(x)=$\frac{x²−bx+1}{x}$＜0,
　即存在x＞0,使得x²−bx+1＜0,等价于b＞x+$\frac{1}{x}$成立,即b＞(x+$\frac{1}{x}$　.
　　　　　　　　min
　又x+$\frac{1}{x}$≥2,当且仅当x=1时，等号成立,所以b＞2.故选B.

7. 函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}(2a + 1)x^{2}+(a^{2}+a)x + 4$的单调递减区间是_______.

答案： (a,a+1)
　解析　f′(x)=x²−(2a+1)x+a²+a=[x−(a+1)](x−a),令∮'(x)＜0,得a＜x＜a+1,故f(x)的单调递减区间是(a,a+1).

8. 若$f(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+b\ln(x + 2)$在$(-1,+\infty)$上是减函数，则$b$的取值范围是_______.

答案： (−∞0,−1]
　解析　因为f(x)在(−1,十co)上为减函数,所以∮'(x)≤0在(−1,+∞o)上恒成立.因为f'(x)=−x+$\frac{6}{x+2}$,所以一x+$\frac{b}{x+2}$≤0在(−1,十∞o)上恒成立,即b≤x(x+2)在(−1,+oo)上恒成立.设g(x)=x(x+2)=(x+1)²−1,则当x＞−1时,g(x)＞−1,所以b≤−1.

9. (1) 已知$x\in(0,\frac{\pi}{2})$，求证：$\sin x＞\frac{2x}{\pi}$；
(2) 已知$x\in\mathbf{R}$，求证：$\mathrm{e}^{x}\geqslant x + 1$.

答案： 证明　
(1)原不等式等价于$\frac{sinx}{x}$＞$\frac{2}{π}$,
　令f(x)=$\frac{sinT}{x}$,x∈(0,$\frac{π}{2}$),
　则f'(x)=$\frac{xcosx−sinx}{x²}$.i　=$\frac{xcosx−cosxtanx}{x²}$
　=$\frac{cosx(x−tanx)}{x²}$.
∵x∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴cosx＞0,x−tanx＜0,
∴f'(x)＜0,
∴f(x)在(0,$\frac{π}{2}$)上单调递减，
　　　　sin$\frac{π}{2}$
∴f(x)＞二2　=$\frac{2}{π}$,即sinx＞$\frac{2x}{π}$,x∈(0,$\frac{π}{2}$.
(2)令f(x)=e²−x−1,则f'(x)=e²−1.
　当x∈[0,+∞∞)时,f'(x)=e²−1≥0,
∴∮(x)在[0,+∞o)上是增函数,此时f(x)≥f
(0)=0;当x∈(−00,0)时,f'(x)=e²−1＜0,
∴f(x)在(−oo,0)上是减函数,此时∮(x)＞f
(0)=0.综上,当x∈R时,∮(x)≥0,即e'≥x+1.