《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 函数$y = 3^{x}$在$x = 2$处的导数为 （ ）
A. 9
B. 6
C. 9ln 3
D. 6ln 3

答案： C $y'=(3^{x})' = 3^{x}\ln 3$，故$x = 2$时所求导数为$9\ln 3$。

2. 下列各式正确的是 （ ）
A. $(\sin 10^{\circ})'=\cos 10^{\circ}$
B. $(\cos x)'=\sin x$
C. $(\sin x)'=\cos x$
D. $(x^{-5})'=-\frac{1}{5}x^{-6}$

答案： C 根据基本初等函数求导公式，得$(\sin 10^{\circ})' = 0$，故A错误；$(\cos x)'=-\sin x$，故B错误；$(\sin x)'=\cos x$，故C正确；$(x^{-5})'=-5x^{-6}$，故D错误。故选C。

3. 函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$在$x = 2$和$x = 3$处的导数的大小关系是 （ ）
A. $f'(2)\lt f'(3)$
B. $f'(2)\gt f'(3)$
C. $f'(2)=f'(3)$
D. 不能确定

答案： A 因为$f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}$，所以$f'(2)=-\frac{1}{4}\lt f'(3)=-\frac{2}{27}$。

4. 若曲线$y=\frac{1}{x}$上一点$P$处的切线的斜率为 - 4，则点$P$的坐标为 （ ）
A. $(\frac{1}{2},2)$
B. $(\frac{1}{2},2)$或$(-\frac{1}{2},-2)$
C. $(-\frac{1}{2},-2)$
D. $(\frac{1}{2},-2)$

答案： B 设$P(x_{0},\frac{1}{x_{0}})$，因为$y'=-\frac{1}{x^{2}}$，所以在点$P$处的切线斜率为$-\frac{1}{x_{0}^{2}}=-4$，解得$x_{0}=\pm\frac{1}{2}$，因此，点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},2)$或$(-\frac{1}{2},-2)$。

5. 若函数$f(x)=x^{2023}$，则$f'((\frac{1}{2023})^{\frac{1}{2022}})=$ （ ）
A. 0
B. 1
C. 2022
D. 2023

答案： B $\because$函数$f(x)=x^{2023}$，$\therefore f'(x)=2023x^{2022}$，$\therefore f'((\frac{1}{2023})^{\frac{1}{2022}})=2023\times((\frac{1}{2023})^{\frac{1}{2022}})^{2022}=2023\times\frac{1}{2023}=1$。故选B。

6. 曲线$y = f(x)=\ln x + 1$在横坐标为 1 的点处的切线方程为 （ ）
A. $x + y - 1 = 0$
B. $x + y + 1 = 0$
C. $x + y = 0$
D. $x - y = 0$

答案： D 因为$y = f(x)=\ln x + 1$，所以$f'(x)=\frac{1}{x}$，所以切线的斜率$k = f'(1)=1$，又$f(1)=\ln 1 + 1 = 1$，所以切点坐标为$(1,1)$，所以切线方程为$y - 1 = 1\times(x - 1)$，即$x - y = 0$，故选D。

7. 对半径为 1 的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至 2 时，其体积相对于半径的瞬时变化率为_______.

答案： $16\pi$
解析 由$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$，得$V' = 4\pi R^{2}$，所以$R = 2$时，体积相对于半径的瞬时变化率为$V' = 4\pi\times2^{2}=16\pi$。

8. 若直线$y = x + a$和曲线$f(x)=\ln x + 2$相切，则实数$a$的值为_______.

答案： $1$
解析 因为$f(x)=\ln x + 2$，所以$f'(x)=\frac{1}{x}$，设切点坐标为$(x_{0},x_{0}+a)$，所以$f'(x_{0})=\frac{1}{x_{0}} = 1$，所以$x_{0}=1$。所以$f(x_{0})=\ln 1 + 2 = 2 = 1 + a$，所以$a = 1$。

9. (1) 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离$h$（单位：m）与时间$t$（单位：s）之间的函数关系为$h = t^{2}$，求$t = 4\ s$时，此球在垂直方向的瞬时速度.
(2) 质点$P$在半径为 10 cm，圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动，角速度为 1 rad/s，设该圆与$x$轴正半轴的交点$A$为起始点，求时刻$t$时，点$P$在$y$轴上射影点$M$的速度.

答案： 解 （1）由题意，瞬时速度$v(t)=h' = 2t$，故$v(4)=8\ m/s$，即球在垂直方向的瞬时速度为$8\ m/s$。
（2）点$P$在$y$轴上射影点$M$的速度为$y' = 10\cos t\ cm/s$。