《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{2}=2$，$4a_{1}+a_{3}=8$，$S_{n}$是$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，则$S_{5}=$（ ）
A. 15
B. 31
C. 48
D. 63

答案： B　设$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，则$a_{2}=a_{1}q = 2$，$4a_{1}+a_{3}=a_{1}(4 + q^{2}) = 8$，所以$a_{1}=1$，$q = 2$，故$S_{5}=\frac{1 - 2^{5}}{1 - 2}=31$。故选B。

2.（2023·江西南昌一中月考）已知正项等比数列$\{ a_{n}\}$共有$2n$项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比$q =$（ ）
A. 2
B. $\frac{1}{2}$
C. 3
D. $\frac{1}{3}$

答案： A　因为等比数列$\{ a_{n}\}$共有$2n$项，所以$S_{偶}=qS_{奇}$，由$S_{2n}=3S_{奇}$，得$(1 + q)S_{奇}=3S_{奇}$，因为$a_{n}＞0$，所以$S_{奇}＞0$，所以$1 + q = 3$，$q = 2$。

3.（2023·全国甲卷理T5）设等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{1}=1$，$S_{5}=5S_{3}-4$，则$S_{4}=$（ ）
A. $\frac{15}{8}$
B. $\frac{65}{8}$
C. 15
D. 40

答案： C　由题意知$1 + q + q^{2}+q^{3}+q^{4}=5(1 + q + q^{2}) - 4$，即$q^{3}+q^{4}=4q + 4q^{2}$，即$q^{3}+q^{4}-4q - 4 = 0$，即$(q - 2)(q + 1)(q + 2)=0$。由题意知$q＞0$，所以$q = 2$，所以$S_{4}=\frac{1 - 2^{4}}{1 - 2}=15$。故选C。

4. 设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{10}:S_{5}=1:2$，则$S_{15}:S_{5}=$（ ）
A. $3:4$
B. $2:3$
C. $1:2$
D. $1:3$

答案： A　在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$S_{5}$，$S_{10}-S_{5}$，$S_{15}-S_{10}$，$\cdots$成等比数列，因为$S_{10}:S_{5}=1:2$，所以$S_{10}=\frac{1}{2}S_{5}$，$S_{15}=\frac{3}{4}S_{5}$，所以$S_{15}:S_{5}=3:4$，故选A。

5.（2024·唐山期末）已知等比数列$\{ a_{n}\}$的公比$q＜0$，$a_{2}=1$，$a_{n + 2}=a_{n + 1}+2a_{n}$，则$\{ a_{n}\}$的前2023项和等于（ ）
A. 2023
B. -1
C. 1
D. 0

答案： B　由$a_{n + 2}=a_{n + 1}+2a_{n}$，得$q^{n + 1}=q^{n}+2q^{n - 1}$，即$q^{2}-q - 2 = 0$，又$q＜0$，解得$q = - 1$。又$a_{2}=1$，$\therefore a_{1}=-1$。$\therefore S_{2023}=\frac{(-1)\times[1 - (-1)^{2023}]}{1 - (-1)}=-1$。

6. 已知公比为$q(q\neq1)$的等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$的前$n$项和为（ ）
A. $\frac{q^{n}}{S_{n}}$
B. $\frac{S_{n}}{q^{n}}$
C. $\frac{1}{S_{n}q^{n - 1}}$
D. $\frac{S_{n}}{a_{1}^{2}q^{n - 1}}$

答案： D　由题易知数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$仍为等比数列，且公比为$\frac{1}{q}$，所以数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$的前$n$项和$S_{n}'=\frac{\frac{1}{a_{1}}(1 - \frac{1}{q^{n}})}{1 - \frac{1}{q}}=\frac{a_{1}(q^{n}-1)}{a_{1}^{2}q^{n - 2}(q - 1)}=\frac{S_{n}}{a_{1}^{2}q^{n - 1}}$。

7. 若等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=3^{n}-c$，则$c =$_______.

答案： 1
解析　由题意，得$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=3^{n}-c-(3^{n - 1}-c)=2\times3^{n - 1}$，当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=3 - c$，又$\{ a_{n}\}$是等比数列，所以$\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{6}{3 - c}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{18}{6}=3$，解得$c = 1$。

8. 已知正项等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，其前$n$项和为$S_{n}(n\in N^{*})$，且$\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}=\frac{2}{a_{3}}$，则$S_{4}=$_______.

答案： 15
解析　正项等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，且$\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}=\frac{2}{a_{3}}$，$\therefore1-\frac{1}{q}=\frac{2}{q^{2}}$，即$q^{2}-q - 2 = 0$，解得$q = 2$或$q = - 1$（舍去），$\therefore S_{4}=\frac{1 - 2^{4}}{1 - 2}=15$。

9. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=\frac{1}{3}$，公比$q=\frac{1}{3}$.
（1）$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，证明：$S_{n}=\frac{1 - a_{n}}{2}$；
（2）设$b_{n}=\log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+\cdots+\log_{3}a_{n}$，求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式.

答案： 解　
(1)证明：因为$a_{n}=\frac{1}{3}\times(\frac{1}{3})^{n - 1}=\frac{1}{3^{n}}$，$S_{n}=\frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^{n}})}{1 - \frac{1}{3}}=\frac{1 - \frac{1}{3^{n}}}{2}$，所以$S_{n}=\frac{1 - a_{n}}{2}$。
(2)由
(1)可知$b_{n}=\log_{3}a_{1}+\log_{3}a_{2}+\cdots+\log_{3}a_{n}=-(1 + 2+\cdots + n)=-\frac{n(n + 1)}{2}$，所以$\{ b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=-\frac{n(n + 1)}{2}$。