《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

14.（2023·新课标Ⅰ卷T20）设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，且$d＞1$. 令$b_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}$，记$S_{n}$，$T_{n}$分别为数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$的前$n$项和.
（1）若$3a_{2}=3a_{1}+a_{3}$，$S_{3}+T_{3}=21$，求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）若$\{ b_{n}\}$为等差数列，且$S_{99}-T_{99}=99$，求$d$.

答案： 14.解　
(1)
∵3a2=3a1+a3,
∴3d=a1+2d,解得a=d,
∴S3=3a2=3(a+d)=6d,
　又T3=b1+b2+b3=$\frac{2}{d}$+$\frac{6}{2d}$+$\frac{12}{3d}$=$\frac{9}{d}$,
∴S3+T3=6d+$\frac{9}{d}$=21,
　即2d²−7d+3=0,解得d=3或d=$\frac{1}{2}$(舍去),
∴a=a1+(n−1)d=3n.
(2)
∵(bn}为等差数列,
∴2b2=b1+b3,即$\frac{12}{a}$=$\frac{2}{a,}$+$\frac{12}{as}$
∴6($\frac{1}{a}$−$\frac{1}{a3}$)=$\frac{6d}{aa3}$=$\frac{6d}{(a+d)(a+2d)}$=$\frac{1}{a}$,
　即a²−3a1d+2d²=0,解得a1=d或a1=2d,
∵d＞1,
∴am＞0,又S99−T9=99,
∴由等差数列的性质知，99a5−99bs=99,
　即a5。−bso=1,
∴aso−$\frac{2550}{a}$=1,即a²0−a50−2550=0,
　解得aso=51或aso=−50(舍去),
　当a1=2d时,aso=a1+49d=51d=51,
　解得d=1,与d＞1矛盾，无解;
　当a1=d时,a5o=a1+49d=50d=51,解得d=$\frac{51}{50}$.综上,d=$\frac{51}{50}$.

15. 截至2021年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为300万辆. 若此后该市每年新增普通汽车8万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的10％，其他情况忽略不计.
（1）设从2021年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列$\{ a_{n}\}$，试写出$a_{n}$与$a_{n + 1}$的一个递推公式，并求2024年末该市普通汽车的保有量；
（2）根据（1）中$a_{n}$与$a_{n + 1}$的递推公式，证明数列$\{ a_{n}-80\}$是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆？（参考数据：$0.9^{9}\approx0.39$，$0.9^{10}\approx0.35$，$0.9^{11}\approx0.31$，$0.9^{12}\approx0.28$）

答案： 15.解　
(1)由题意知,a1=300,a+1=0.9a+8,
　故a2=0.9×300+8=278,a3=0.9×278+8=258.2,所以2024年末该市普通汽车的保有量为
　a4=0.9×258.2+8=240.38(万辆).
(2)由a+1=0.9a+8得a+1−80=0.9×(a−80),而a−80=220,
故{a。−80}是首项为220,公比为0.9的等比数列.
所以a−80=220×0.9−,即a。=220×0.9"−¹+80,由a=220×0.9−¹+80＜150得0.9−¹＜$\frac{7}{22}$,
又0.31＜$\frac{7}{22}$＜0.35,求得n≥12,
即从2032年末开始，该市普通汽车的保有量首次少于150万辆.