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2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
13. （2024·山西阳泉期末）设等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{4}=10$.
（1）若$S_{20}=590$，求$\{a_{n}\}$的公差；
（2）若$a_{1}\in\mathbf{Z}$，且$S_{7}$是数列$\{S_{n}\}$中最大的项，求$a_{1}$所有可能的值.
（1）若$S_{20}=590$，求$\{a_{n}\}$的公差；
（2）若$a_{1}\in\mathbf{Z}$，且$S_{7}$是数列$\{S_{n}\}$中最大的项，求$a_{1}$所有可能的值.
答案：
解：（1）设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，则$\begin{cases}a_{4}=a_{1}+3d = 10\\S_{20}=20a_{1}+190d = 590\end{cases}$，解得$d = 3$.
（2）由题意得$a_{4}=a_{1}+3d = 10$，则$d=\frac{10 - a_{1}}{3}$，因为$S_{7}$是数列$\{S_{n}\}$中最大的项，所以$d=\frac{10 - a_{1}}{3}＜0$，即$a_{1}＞10$，$\begin{cases}a_{7}\geq0\\a_{8}\leq0\end{cases}$，即$\begin{cases}a_{1}+6d\geq0\\a_{1}+7d\leq0\end{cases}$，$\begin{cases}a_{1}+6\times\frac{10 - a_{1}}{3}=20 - a_{1}\geq0\\a_{1}+7\times\frac{10 - a_{1}}{3}=\frac{70 - 4a_{1}}{3}\leq0\end{cases}$，解得$\frac{35}{2}\leq a_{1}\leq20$.因为$a_{1}$是整数，所以$a_{1}$的所有可能取值是$18,19,20$.
（2）由题意得$a_{4}=a_{1}+3d = 10$，则$d=\frac{10 - a_{1}}{3}$，因为$S_{7}$是数列$\{S_{n}\}$中最大的项，所以$d=\frac{10 - a_{1}}{3}＜0$，即$a_{1}＞10$，$\begin{cases}a_{7}\geq0\\a_{8}\leq0\end{cases}$，即$\begin{cases}a_{1}+6d\geq0\\a_{1}+7d\leq0\end{cases}$，$\begin{cases}a_{1}+6\times\frac{10 - a_{1}}{3}=20 - a_{1}\geq0\\a_{1}+7\times\frac{10 - a_{1}}{3}=\frac{70 - 4a_{1}}{3}\leq0\end{cases}$，解得$\frac{35}{2}\leq a_{1}\leq20$.因为$a_{1}$是整数，所以$a_{1}$的所有可能取值是$18,19,20$.
14. 在①$a_{7}+a_{8}=43$，②$\{a_{n}\}$的前7项和为77，③$a_{1}+a_{2}=a_{3}-1$这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，________.
（1）求$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）在$\{a_{n}\}$中每相邻两项之间插入4个数，使它们与原数列的数构成新的等差数列$\{b_{n}\}$，则$b_{101}$是不是数列$\{a_{n}\}$的项？若是，它是$\{a_{n}\}$的第几项；若不是，请说明理由.
已知等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，________.
（1）求$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）在$\{a_{n}\}$中每相邻两项之间插入4个数，使它们与原数列的数构成新的等差数列$\{b_{n}\}$，则$b_{101}$是不是数列$\{a_{n}\}$的项？若是，它是$\{a_{n}\}$的第几项；若不是，请说明理由.
答案：
解：（1）设$\{a_{n}\}$的公差为$d$. 因为$a_{1}=2$，所以$a_{n}=2+(n - 1)d$，$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d=2n+\frac{n(n - 1)}{2}d$.若选①，因为$a_{7}+a_{8}=43$，所以$2 + 6d+2 + 7d=4 + 13d=43$，解得$d = 3$，故$a_{n}=3n - 1$.若选②，因为$\{a_{n}\}$的前$7$项和为$77$，所以$2\times7+\frac{7\times6}{2}d=14 + 21d=77$，解得$d = 3$，故$a_{n}=3n - 1$.若选③，因为$a_{1}+a_{2}=a_{3}-1$，所以$2+2 + d=2 + 2d-1$，解得$d = 3$，故$a_{n}=3n - 1$.
（2）是，是第$21$项. 由已知得数列$\{a_{n}\}$的第$n$项是数列$\{b_{n}\}$的第$n + 4(n - 1)=(5n - 4)$项，令$5n - 4=101$，解得$n = 21$，故$b_{101}$是数列$\{a_{n}\}$的第$21$项.
（2）是，是第$21$项. 由已知得数列$\{a_{n}\}$的第$n$项是数列$\{b_{n}\}$的第$n + 4(n - 1)=(5n - 4)$项，令$5n - 4=101$，解得$n = 21$，故$b_{101}$是数列$\{a_{n}\}$的第$21$项.
15. 若数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是等差数列，则称数列$\{a_{n}\}$为调和数列. 若实数$a,b,c$成调和数列，则称$b$是$a$和$c$的调和中项.
（1）求$\frac{1}{3}$和1的调和中项；
（2）已知调和数列$\{a_{n}\}$，$a_{1}=6$，$a_{4}=2$，求$\{a_{n}\}$的通项公式.
（1）求$\frac{1}{3}$和1的调和中项；
（2）已知调和数列$\{a_{n}\}$，$a_{1}=6$，$a_{4}=2$，求$\{a_{n}\}$的通项公式.
答案：
解：（1）设$\frac{1}{3}$和$1$的调和中项为$b$，依题意得$3$，$\frac{1}{b}$，$1$成等差数列，所以$\frac{1}{b}=\frac{3 + 1}{2}=2$，解得$b=\frac{1}{2}$，故$\frac{1}{3}$和$1$的调和中项为$\frac{1}{2}$.
（2）依题意，$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是等差数列，设其公差为$d$，则$3d=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$，解得$d=\frac{1}{9}$，所以$\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{1}}+(n - 1)d=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}(n - 1)=\frac{2n + 1}{18}$，故$a_{n}=\frac{18}{2n + 1}$.
（2）依题意，$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是等差数列，设其公差为$d$，则$3d=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$，解得$d=\frac{1}{9}$，所以$\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{1}}+(n - 1)d=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}(n - 1)=\frac{2n + 1}{18}$，故$a_{n}=\frac{18}{2n + 1}$.
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