《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

10. 用数学归纳法证明：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}\lt n(n\in\mathbf{N}_{+},且n\gt1)$．

答案： 10.证明　①当n=2时,左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{11}{6}$＜2,不等式成立;
　②假设当n=k(k∈N+,且k＞1)时,不等式成立,即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+.….十$\frac{1}{2−1}$＜k,则当n=k+1时,1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{2−1}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2+1}$+.….+$\frac{1}{2+1−1}$＜k+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2+2}$+.….+$\frac{1}{2+1−1}$＜k+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+.….十$\frac{1}{2}$=
　k+1,
∴当n=k+1时，不等式成立.
　根据①和②,可知对任意n∈N+,且n＞1,1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+.….+$\frac{1}{2"−1}$＜n成立.

11. 利用数学归纳法证明等式：$1\cdot n+2\cdot(n - 1)+3\cdot(n - 2)+\cdots+n\cdot1=\frac{1}{6}n\cdot(n + 1)\cdot(n + 2)(n\in\mathbf{N}^{*})$，当$n = k$时，左边的和$1\cdot k+2\cdot(k - 1)+3\cdot(k - 2)+\cdots+k\cdot1$记作$S_{k}$，则当$n = k + 1$时，左边的和记作$S_{k + 1}$，则$S_{k + 1}-S_{k}=$（ ）
A. $1 + 2 + 3+\cdots+k$
B. $1 + 2 + 3+\cdots+(k - 1)$
C. $1 + 2 + 3+\cdots+(k + 1)$
D. $1 + 2 + 3+\cdots+(k - 2)$

答案： 11.C　依题意,S=1.k+2.(k−1)+3.(k−2)+.….+k.1,则S;+1=1.(k+1)+2.k+3.(k−1)+4.(k−2)+.….+k.2+(k+1).1,
∴S+−S=1.
[(k+1)−k]+2.[k−(k−1))]+3.[((k−1)−(k−2)]+4.[(k−2)−(k−3)]+...+k.(2−1)+(k+1).1=1+2+3+.….+k+(k+1).

12. 设$f(x)$是定义在正整数集上的函数，且$f(x)$满足：当$f(k)\geqslant k + 1$成立时，总有$f(k + 1)\geqslant k + 2$成立，则下列命题总成立的是（ ）
A. 若$f(1)\lt2$成立，则$f(10)\lt11$成立
B. 若$f(3)\geqslant4$成立，则当$k\geqslant1$时，均有$f(k)\geqslant k + 1$成立
C. 若$f(2)\lt3$成立，则$f(1)\geqslant2$成立
D. 若$f(4)\geqslant5$成立，则当$k\geqslant4$时，均有$f(k)\geqslant k + 1$成立

答案： 12.D　根据题意,若f
(4)≥5成立,则f(k)≥k+1(k≥5)
　成立,结合∮
(4)≥5,所以当k≥4时,均有f(k)≥k+1 成立.故选D.

13. 设平面内有$n$条直线$(n\geqslant3)$，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用$f(n)$表示这$n$条直线交点的个数，则$f(4)=$_______，当$n\gt4$时，$f(n)=$____________________（用$n$表示）．

答案： 13.5　$\frac{1}{2}$(n+1)(n−2)
　解析　∮
(3)=2,f
(4)=f
(3)+3=2+3=5,∮(n)=
　∮
(3)+3+4+.…−+(n−1)=2+3+4+.….+(n−1)=
　$\frac{1}{2}$(n+1)(n−2).

14. 设数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足$2S_{n}=a_{n}^{2}+n,a_{n}\gt0(n\in\mathbf{N}^{*})$，猜想$\{a_{n}\}$的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

答案： 14.解　分别令n=1,2,3,
　　　2a1=a²+1,
　得{2(a1+a2)=a²+2,
　　　2(a+a2+a3)=a²+3.
∵am＞0,
∴a=1,a2=2,a3=3,猜想a=n.
　证明:由2S=a+n,①
　可知当n≥2時,2S。−1=a²−1+(n−1),②
　由①②得2a=a²−a²−1+1,
　即a²=2a+a²−1−−1.
　(i)当n=2时,a²=2a2+1²−1,
∵a2＞0,
∴a2=2,成立,
　(i)假设当n=k(k≥2,k∈N.)时,a=k,
　那么当n=k+1时,
　a²+1=2ak+1+a²−1=2ak+1+k²−1U[ak+1−(k+1)].[ak++(k−1)]=0,
∵ak+1＞0,k≥2,
∴ak+1+(k−1)＞0,
∴a+1=k+1,即当n=k+1时也成立.
∴a=n(n≥2),显然当n=1时,也成立,
　故对于一切n∈N,均有a=n.

15.（逻辑推理）现有命题“$1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6+\cdots+(-1)^{n + 1}n=\frac{1}{4}+(-1)^{n + 1}(\frac{1}{4}+\frac{n}{2})$，$n\in\mathbf{N}^{*}$”不知真假．若用数学归纳法去探究，则关于此命题的说法正确的是（ ）
A. 不能用数学归纳法去判断真假
B. 一定为真命题
C. 加上条件$n\leqslant9$后才是真命题，否则为假命题
D. 存在一个很大的常数$m$，当$n\gt m$时，命题为假命题

答案： 15.B　①当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,即n=1时,等式成立;
　②假设当n=k(k≥1,k∈N)时,等式成立,
　即1−2+3−4+5−6+..,+(−1)+¹k
　=$\frac{1}{4}$+(−1))+¹($\frac{1}{4}$+$\frac{k}{2}$),
　则当n=k+1时,
　1−2+3−4+5−6+...+(−1)+k+(−1)+²(k+1)
　=$\frac{1}{4}$+(−1)+¹($\frac{1}{4}$+$\frac{k}{2}$)+(−1)+²(k+1)
　=$\frac{1}{4}$+(−1))+²(k+1−$\frac{1}{4}$−$\frac{k}{2}$
　=$\frac{1}{4}$+(−1)+²($\frac{1}{4}$+$\frac{k+1}{2}$,
　即当n=k+1时,等式也成立.
　综上,当n∈N.时,等式1−2+3−4+5−6+.….+(−1)°+¹n=$\frac{1}{4}$+(−1))+($\frac{1}{4}$+$\frac{n}{2}$)恒成立.
　故选B.