《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1.（2024·山东青岛二中月考）在等比数列{aₙ}中，a₁a₂a₃ = 1，a₄ = 4，则a₂ + a₄ + a₆ + … + a₂ₙ = （ ）
A. 2ⁿ - 1
B. $\frac{4^{n}-1}{3}$
C. $\frac{1-(-4)^{n}}{3}$
D. $\frac{1-(-2)^{n}}{3}$

答案： B
∵a₁a₂a₃=1,
∴a₂³=1,即a₂=1,又a₄=4,则q²=$\frac{a_{4}}{a_{2}}$=4.数列{a₂ₙ}是以a₂为首项,q²=4为公比的等比数列,
∴a₂+a₄+a₆+...+a₂ₙ=$\frac{1×(1−4^{n})}{1−4}$=$\frac{4^{n}−1}{3}$.故选B.

2.设Sₙ为公比为q的等比数列{aₙ}的前n项和，且2S₃ = 7a₂，则q = （ ）
A. $\frac{15}{2}$
B. 2
C. $\frac{1}{2}$或$\frac{15}{4}$
D. $\frac{1}{2}$或2

答案： D　由题意得q≠1,则2×$\frac{a_{1}(1−q^{3})}{1−q}$=7a₁q,因为a₁≠0,所以q²−$\frac{5}{2}$q+1=0,解得q=$\frac{1}{2}$或2.故选D.

3.已知数列{aₙ}的首项为2，且aₙ₊₁ - aₙ = 2ⁿ⁺¹，则a₆ = （ ）
A. 254
B. 64
C. 62
D. 126

答案： D　aₙ₊₁−aₙ=2ⁿ⁺¹,a₁=2,则当n≥2时,有aₙ−a₁=(aₙ−aₙ₋₁)+(aₙ₋₁−aₙ₋₂)+…..+(a₂−a₁)=2ⁿ+2ⁿ⁻¹+.….+2²=$\frac{2²(1−2^{n−1})}{1−2}$=2ⁿ⁺¹−4,则aₙ=2ⁿ⁺¹−4+a₁=2ⁿ⁺¹−2,当n=1时,a₁=2也符合上式,
∴aₙ=2ⁿ⁺¹−2,
∴a₆=126,故选D.

4.（2023·湖北武汉黄陂区第一中学阶段测试）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意为：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的里程数为 （ ）
A. $\frac{700}{127}$
B. $\frac{50}{9}$
C. $\frac{280}{51}$
D. $\frac{350}{127}$

答案： A　设这匹马每天走的里程数构成等比数列{aₙ}，公比q=$\frac{1}{2}$，则S₇=$\frac{a_{1}[1 - (\frac{1}{2})^{7}]}{1 - \frac{1}{2}}$ = 700，解得a₁=$\frac{128×350}{127}$，所以a₇=$\frac{128×350}{127}$×$(\frac{1}{2})^{6}$=$\frac{700}{127}$.故选A.

5.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：1.3¹⁰≈13.79） （ ）
A. 3 937万元
B. 3 837万元
C. 3 737万元
D. 3 637万元

答案： A　设a₁=100,aₙ₊₁=1.3aₙ−3,则aₙ₊₁−10=1.3(aₙ−10),所以数列{aₙ−10}是首项为90,公比为1.3的等比数列,所以aₙ−10=90×1.3ⁿ⁻¹,aₙ=90×1.3ⁿ⁻¹+10,则S₁₀=a₁+a₂+.….+a₁₀=$\frac{90(1 - 1.3^{10})}{1 - 1.3}$+10×10=300×1.3¹⁰−200≈300×13.79−200=3937(万元).故选A.

6.设公比为q的等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，前n项积为Tₙ，且a₁ ＞ 1，a₂₀₂₁a₂₀₂₂ ＞ 1，$\frac{a_{2021}-1}{a_{2022}-1}＜0$，则下列结论正确的是 （ ）
A. q ＞ 1
B. S₂₀₂₁S₂₀₂₂ - 1 ＞ 0
C. T₂₀₂₂是数列{Tₙ}中的最大值
D. 数列{Tₙ}无最大值

答案： B　当q＜0时,a₂₀₂₁a₂₀₂₂=a₁²q⁴⁰⁴¹＜0,不合乎题意;当q≥1时,对任意的n∈N*,aₙ=a₁qⁿ⁻¹＞0,且有$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$=q≥1,可得aₙ₊₁≥aₙ,可得a₂₀₂₂≥a₂₀₂₁≥a₁＞1,此时$\frac{a_{2021}-1}{a_{2022}-1}$＞0，与题干不符，不合乎题意。由以上分析可知0＜q＜1,故A错误;对任意的n∈N*,aₙ=a₁qⁿ⁻¹＞0,且有$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$=q＜1,可得aₙ₊₁＜aₙ,故数列{aₙ}为递减数列,则a₂₀₂₁＞a₂₀₂₂,结合$\frac{a_{2021}-1}{a_{2022}-1}$＜0可得0＜a₂₀₂₂＜1＜a₂₀₂₁,结合数列的单调性可得aₙ＞1(n≤2021),0＜aₙ＜1(n≥2022),故S₂₀₂₁＞2021a₂₀₂₁＞2021＞1,S₂₀₂₂=S₂₀₂₁+a₂₀₂₂＞2021＞1,
∴S₂₀₂₂＞S₂₀₂₁＞1，
∴S₂₀₂₂S₂₀₂₁−1＞0,故B正确;T₂₀₂₁是数列{Tₙ}中的最大值，故C、D错误.故选B.

7.数列{aₙ}满足a₁ = 1，aₙaₙ₊₁ = 2ⁿ⁻¹，其前n项和为Sₙ，则a₅ = ________，S₂ₙ = ________.

答案： 4　2ⁿ⁺¹−2
解析　由aₙaₙ₊₁=2ⁿ⁻¹,得aₙ₊₁aₙ₊₂=2ⁿ,两式相除可得$\frac{a_{n + 2}}{a_{n}}$=2,则a₅=a₁×2²=4.由a₁a₂=2⁰可得a₂=1,则奇数项、偶数项均为首项为1,公比为2的等比数列，则S₂ₙ=2×$\frac{1×(1 - 2ⁿ)}{1 - 2}$=2ⁿ⁺¹−2.

8.（2024·湖北武汉第四中学月考）一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米.

答案： 752
解析　设小球每次着地后跳回的高度构成数列{aₙ}，则数列{aₙ}为等比数列,a₁=128,q=$\frac{1}{2}$,S₅=$\frac{128×[1 - (\frac{1}{2})^{5}]}{1 - \frac{1}{2}}$=248,共经过的路程为256+2S₅=752(米).

9.在等比数列{aₙ}中，a₁ ＞ 0，n∈N*，且a₅ - a₂ = 8，a₁，a₅的等比中项为16.
（1）求数列{aₙ}的通项公式；
（2）设bₙ = aₙ + aₙ²，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ.

答案： 解　
(1)设数列{aₙ}的公比为q,因为a₁,a₅的等比中项为16,所以a₁a₅=a₃²=16².因为a₁＞0,所以a₃＞0,则可得a₃=16.因为a₃−a₂=8,则a₂=8,所以q=2,所以aₙ=2ⁿ⁺¹.
(2)由
(1)可知aₙ²=4ⁿ⁺¹,从而数列{aₙ²}是首项为16,公比为4的等比数列,故Sₙ=b₁+b₂+...+bₙ=(a₁+a₂+.….+aₙ)+(a₁²+a₂²+.…..+aₙ²)=(2²+2³+...+2ⁿ⁺¹)+(4²+4³+...+4ⁿ⁺¹)=$\frac{4(1 - 2ⁿ)}{1 - 2}$+$\frac{16(1 - 4ⁿ)}{1 - 4}$=$\frac{4}{3}$×2ⁿ⁺²−$\frac{28}{3}$