《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 公比为2的等比数列$\{ a_{n}\}$的各项都是正数，且$a_{3}a_{11}=16$，则$\log _{2}a_{10}=$（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： B
∵a3a11=16,
∴a²=16.又等比数列{a}的各项都是正数,
∴a7=4.又a1。=a7q²=4×2²=2²,
∴log2a0=5.故选B.

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$是等比数列，且$a_{3}+a_{5}=3$，则$a_{2}a_{4}+2a_{4}^{2}+a_{4}a_{6}$的值为（ ）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 36

答案： C　由等比数列的性质知,a2a4=a²,a²=a3as,a4a。=a²,所以a2a4+2a²+a4a6=a²+2a3as+a²=(a3+a5)²,又a3+a5=3,所以a2a4+2a²+a4a=9.故选C.

3. （2024·许昌期末）在正项等比数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{3}a_{7}a_{8}=8$，$a_{2}+a_{10}=5$，则公比$q =$（ ）
A. $2^{\frac{1}{2}}$
B. $2^{\frac{1}{2}}$或$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$
C. $2^{\frac{1}{4}}$
D. $2^{\frac{1}{4}}$或$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{4}}$

答案： D　由a3a7a8=8,得a1q².aq⁶.aq²=(aq⁵)²=a²=8,
∴a6=2,
∴a2a1o=a²=4.又a2+ao=5,联立可得{aa2。==14,或{aa2o==41,.
∵q＞0,
∴q=$\frac{aio}{a}$)²=4=2+或q=($\frac{a10}{az}$=($\frac{1}{4}$)²=($\frac{1}{2}$)

4. （多选）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完.”设第一天这根木棰被截取一半剩下$a_{1}$尺，第二天被截取剩下的一半剩下$a_{2}$尺，…，第六天被截取剩下的一半剩下$a_{6}$尺，则（ ）
A. $a_{6}=\frac{1}{32}$
B. $\frac{a_{1}}{a_{4}} = 8$
C. $a_{5}+a_{6}=\frac{5}{64}$
D. $a_{1}+a_{2}+a_{3}=1 - a_{3}$

答案： BD　依题意可知,a1,a2,a3,成等比数列,且首项与公比均为$\frac{1}{2}$,则a。=$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$)"−²=($\frac{1}{2}$)”,所以a。=($\frac{1}{2}$)’=$\frac{1}{64}$,$\frac{a}{a}$=　2;4=8,as+a6=($\frac{1}{2}$)²+($\frac{1}{2}$)²=$\frac{3}{64}$,a1+a2+a3=$\frac{1}{2}$+($\frac{1}{2}$)²+($\frac{1}{2}$)²=$\frac{7}{8}$,1−a3=1−($\frac{1}{2}$3=$\frac{7}{8}$.故选BD,

5. （2024·河北唐山一中月考）若$a$，$b$，$c$成等比数列且公比为$q$，则$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$（ ）
A. 不一定是等比数列
B. 一定不是等比数列
C. 一定是等比数列，且公比为$\frac{1}{q}$
D. 一定是等比数列，且公比为$q$

答案： C　因为a,b,c成等比数列且公比为q,所以$\frac{b}{a}$=q,b²=ac,可得$\frac{1}{b²}$=$\frac{1}{ac}$'=$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{q}$,由等比中项的性质可判断a $\frac{1}{a}$,$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{C}$成等比数列，并且公比为$\frac{1}{q}$.故选C.

6. 在等比数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{1}a_{6}=-\frac{3}{4}$，$a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=\frac{9}{4}$，则$\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{5}}=$（ ）
A. 1
B. $-\frac{3}{4}$
C. $-3$
D. $\frac{4}{3}$

答案： C
∵数列{a。}是等比数列,
∴a1a6=−$\frac{3}{4}$=a3a4=a2as,又a2+a3+a+as=$\frac{9}{4}$..
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{a+as}{aas}$+$\frac{a+a}{aa,}$=$\frac{a+a+a+as}{aas}$=$\frac{4}{3}$=−3.故选C.

7. （2023·咸宁期末）已知数列$\{ a_{n}\}$为正项等比数列，且$a_{7}=\sqrt{2}$，则$\log _{2}a_{1}+\log _{2}a_{2}+\log _{2}a_{3}+\cdots+\log _{2}a_{13}=$________.

答案： $\frac{13}{2}$ 解析
∵数列{a}为正项等比数列,
∴a1a13=a2a12=a3a11=a4a1o=asa9=a6a8=a²,
∴log2a1+log2a2+log2a3+...+log2a13=1og2(aa2.,.a13)=log2a{³=13log2a7=$\frac{13}{2}$

8. 在$\frac{1}{2}$和8之间插入3个数，使它们与这两个数构成等比数列，则这3个数的积为________.

答案： 8 解析　设插入的3个数依次为a,b,c,即$\frac{1}{2}$,a,b,c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b²=ac=$\frac{1}{2}$×8=4,因为a²=$\frac{1}{2}$b＞0,所以b=2(负值舍去),所以这3个数的积为abc=4×2=8.

9. （2023·河南南阳一中月考）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，求这四个数的和.

答案： 解　设这四个数分别为a,aq,aq²,aq”,则a−1,aq−1,aq²−4,aq²−13成等差数列,即{22((aaqq²−−14))==(a(a−q−1)1+)+(a(qa²q−²−4)1,3),整理得{aaq(q(q−−1)1²)=²=36,,解得a=3,q=2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为455.