《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 函数$y = x^{2}+x$在$x = 1$到$x = 1+\Delta x$之间的平均变化率为（ ）
A. $\Delta x + 2$
B. $\Delta x + 3$
C. $2\Delta x+(\Delta x)^{2}$
D. $3\Delta x+(\Delta x)^{2}$

答案： B　由$\Delta y=(1 + \Delta x)^{2}+(1 + \Delta x)-1^{2}-1=(\Delta x)^{2}+3\Delta x$，得$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(\Delta x)^{2}+3\Delta x}{\Delta x}=\Delta x + 3$。故选B。

2. 函数$f(x)=x^{2}$在区间$[0,2]$上的平均变化率等于$x = m$时的瞬时变化率，则$m =$（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 2
D. $\frac{3}{2}$

答案： B　函数$f(x)=x^{2}$在区间$[0,2]$上的平均变化率等于$\frac{f(2)-f(0)}{2 - 0}=\frac{4}{2}=2$，由$f(x)=x^{2}$，得$f^{\prime}(m)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(m+\Delta x)-f(m)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(m + \Delta x)^{2}-m^{2}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(2m+\Delta x)=2m$。因为函数$f(x)=x^{2}$在区间$[0,2]$上的平均变化率等于$x = m$时的瞬时变化率，所以$2 = 2m$，解得$m = 1$。故选B。

3. 已知函数$f(x)=\frac{2}{x}$，且$f'(m)=-\frac{1}{2}$，则$m$的值为（ ）
A. $\pm 2$
B. 2
C. -2
D. -4

答案： A　由于$f^{\prime}(m)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(m+\Delta x)-f(m)}{\Delta x}=-\frac{2}{m^{2}}$，于是有$-\frac{2}{m^{2}}=-\frac{1}{2}$，$m^{2}=4$，解得$m=\pm2$。

4. 定义在$\mathbf{R}$上的函数$y = f(x)$在区间$[2,2+\Delta x](\Delta x＞0)$内的平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=(\Delta x)^{2}+2\Delta x + 1$，其中$\Delta y = f(2+\Delta x)-f(2)$，则函数$f(x)$在$x = 2$处的导数$f'(2)=$（ ）
A. -1
B. 1
C. 3
D. 9

答案： B　由导数的定义可得$f^{\prime}(2)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}[(\Delta x)^{2}+2\Delta x + 1]=1$，故选B。

5. (2023·滁州质检)函数$f(x)=x^{2}$在区间$[x_{0},x_{0}+\Delta x]$上的平均变化率为$k_{1}$，在区间$[x_{0}-\Delta x,x_{0}]$上的平均变化率为$k_{2}$，则$k_{1}$与$k_{2}$的大小关系为（ ）
A. $k_{1}＞k_{2}$
B. $k_{1}＜k_{2}$
C. $k_{1}=k_{2}$
D. 不能确定

答案： A　因为函数$y = f(x)=x^{2}$在区间$[x_{0},x_{0}+\Delta x]$上的变化量$\Delta y_{1}=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=(x_{0}+\Delta x)^{2}-x_{0}^{2}=\Delta x(2x_{0}+\Delta x)$，所以$k_{1}=\frac{\Delta y_{1}}{\Delta x}=2x_{0}+\Delta x$。因为函数$y = f(x)=x^{2}$在区间$[x_{0}-\Delta x,x_{0}]$上的变化量$\Delta y_{2}=f(x_{0})-f(x_{0}-\Delta x)=x_{0}^{2}-(x_{0}-\Delta x)^{2}=\Delta x(2x_{0}-\Delta x)$，所以$k_{2}=\frac{\Delta y_{2}}{\Delta x}=2x_{0}-\Delta x$，所以$k_{1}-k_{2}=2\Delta x$，又$\Delta x＞0$，所以$k_{1}＞k_{2}$，故选A。

6. 若$f'(x_{0}) = 1$，则$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}-\Delta x)-f(x_{0})}{2\Delta x}=$（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. 1
D. -1

答案： B　$\because f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}-\Delta x)-f(x_{0})}{-\Delta x}=1$，
$\therefore\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}-\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=-1$，
$\therefore\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}-\Delta x)-f(x_{0})}{2\Delta x}=\frac{1}{2}\times(-1)=-\frac{1}{2}$。

7. 由导数的定义，可求得函数$f(x)=x^{2}-2x$在$x = 1$处的导数$f'(1)=$_______.

答案： 0
解析：$f^{\prime}(1)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(1+\Delta x)^{2}-2(1+\Delta x)+1}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\Delta x = 0$。

8. (2024·武汉期末)已知球的体积$V$是关于半径$r$的函数，$V(r)=\frac{4\pi r^{3}}{3}$，则当$r = 2$时，球的体积的瞬时变化率为_______.

答案： $16\pi$
解析：$\because\Delta V=V(2+\Delta r)-V(2)=\frac{4\pi(2+\Delta r)^{3}}{3}-\frac{4\pi\times2^{3}}{3}=\frac{4\pi\cdot\Delta r[12 + 6\Delta r+(\Delta r)^{2}]}{3}$，
$\therefore\frac{\Delta V}{\Delta r}=\frac{4\pi}{3}[12 + 6\Delta r+(\Delta r)^{2}]$，$\therefore\lim\limits_{\Delta r\rightarrow0}\frac{\Delta V}{\Delta r}=16\pi$。

9. 柏油路是用沥青和石子等材料混合后铺成的. 铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第$x\ h$的沥青温度(单位：$^{\circ}C$)为$y = f(x)=80x^{2}+20$，$0\leqslant x\leqslant1$，求$f'(0.25)$，并说明它的实际意义.

答案： 解　因为$y = f(x)=80x^{2}+20$，$0\leqslant x\leqslant1$，
所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(0.25+\Delta x)-f(0.25)}{\Delta x}=\frac{80(0.25+\Delta x)^{2}+20-(80\times0.25^{2}+20)}{\Delta x}=\frac{40\Delta x+80(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=40 + 80\Delta x$，
所以$f^{\prime}(0.25)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(40 + 80\Delta x)=40$。
它表示在$x = 0.25h$附近，沥青的温度大约以$40^{\circ}C/h$的速率上升。