《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

14.记$S_{n}$是公差不为0的等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{3}=S_{5}$，$a_{2}a_{4}=S_{4}$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)求使$S_{n}＞a_{n}$成立的$n$的最小值.

答案： 解　
(1)设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d(d\neq0)$,则由题意，得$\begin{cases}a_{1}+2d = 5a_{1}+\frac{5\times4}{2}d\\(a_{1}+d)(a_{1}+3d)=4a_{1}+\frac{4\times3}{2}d\end{cases}$,解得$\begin{cases}a_{1}=-4\\d = 2\end{cases}$,
　所以$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=2n - 6$.
(2)$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{n(2n - 10)}{2}=n^{2}-5n$,
　则由$n^{2}-5n＞2n - 6$,整理得$n^{2}-7n + 6＞0$,
　解得$n＜1$或$n＞6$.
　因为$n\in N^{*}$,所以使$S_{n}＞a_{n}$成立的$n$的最小值为7.

15.设数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，且公差为$d$，若数列$\{ a_{n}\}$中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
(1)若等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=4$，$d = 2$，求证：数列$\{ a_{n}\}$是“封闭数列”；
(2)若$a_{n}=2n - 7$，试判断等差数列$\{ a_{n}\}$是否为“封闭数列”，并说明理由.

答案： 解　
(1)证明:因为$a_{1}=4,d = 2$,
　所以$a_{n}=4+2(n - 1)=2n + 2$,
　所以对任意的$s,t\in N^{*},s\neq t$,有$a_{s}+a_{t}=(2s + 2)+(2t + 2)=2(s + t + 1)+2$.
　因为$s + t + 1\in N^{*}$,所以$a_{s}+a_{t}$是数列$\{ a_{n}\}$中的项.
　所以数列$\{ a_{n}\}$是“封闭数列”
(2)数列$\{ a_{n}\}$不是“封闭数列”.理由如下:
　因为$a_{n}=2n - 7$,所以$a_{1}=-5,a_{2}=-3$,所以$a_{1}+a_{2}=-8$.
　令$a_{n}=-8$,即$2n - 7=-8$,可得$n=-\frac{1}{2}\notin N^{*}$.
　所以数列$\{ a_{n}\}$不是“封闭数列”