《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1. 已知$f(x)=\sin2x$，那么函数$f(x)$在$x = \frac{\pi}{2}$处的瞬时变化率为 （ ）
A. 1
B. 0
C. -2
D. -1

答案： C 因为 $f(x)=\sin 2x$，所以 $f^{\prime}(x)=2\cos 2x$，所以 $f^{\prime}(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(2\times\frac{\pi}{2})=-2$，所以函数 $f(x)$在 $x = \frac{\pi}{2}$处的瞬时变化率为 $-2$，故选 C.

2. 下列求导运算错误的是 （ ）
A. $(x^{2023}+c)' = 2023x^{2022}$（$c$为常数）
B. $(x^{2}\ln x)' = 2x\ln x + x$
C. $(\frac{\cos x}{x})' = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^{2}}$
D. $(3^{x})' = 3^{x}\ln3$

答案： C 因为 $(\frac{\cos x}{x})^{\prime}=\frac{-x\sin x - \cos x}{x^{2}}$，所以 C 错误.

3.（2023·淮安期中）已知函数$f(x)=x\ln x$，若$f'(a)=2$，则实数$a$的值为 （ ）
A. $e^{2}$
B. $e$
C. $2\ln2$
D. $\ln2$

答案： B 因为 $f(x)=x\ln x$，所以 $f^{\prime}(x)=\ln x + 1$. 因为 $f^{\prime}(a)=2$，所以 $\ln a + 1 = 2$，解得 $a = e$.

4. 已知函数$f(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+2x\cdot f'(2023)+2023\ln x$，则$f'(2023)=$ （ ）
A. 2022
B. -2022
C. 2021
D. -2021

答案： A 根据题意，得 $f^{\prime}(x)=-x + 2f^{\prime}(2023)+\frac{2023}{x}$，令 $x = 2023$，则有 $f^{\prime}(2023)=-2023 + 2f^{\prime}(2023)+1$，变形可得 $f^{\prime}(2023)=2022$.

5. 设函数$f(x)=-x^{3}-ax^{2}+a^{2}x - 1$，则“$a = 1$”是“$f'(-1)=0$”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： A 由 $f(x)=-x^{3}-ax^{2}+a^{2}x - 1$，得 $f^{\prime}(x)=-3x^{2}-2ax + a^{2}$，当 $a = 1$时，$f^{\prime}(x)=-3x^{2}-2x + 1$，$f^{\prime}(-1)=-3 + 2 + 1 = 0$，满足充分性；当 $f^{\prime}(-1)=0$时，即 $-3 + 2a + a^{2}=0$，解得 $a = 1$或 $a=-3$，不满足必要性. 所以“$a = 1$”是“$f^{\prime}(-1)=0$”的充分不必要条件，故选 A.

6. 已知$f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\cos x$，$f'(x)$为$f(x)$的导函数，则$f'(x)$的图象是 （ ）

答案： A 因为 $f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\cos x$，所以 $f^{\prime}(x)=\frac{x}{2}-\sin x$，所以 $f^{\prime}(-x)=\frac{-x}{2}-\sin(-x)=-(\frac{x}{2}-\sin x)=-f^{\prime}(x)$，故 $f^{\prime}(x)$为奇函数，故导函数图象关于原点对称，排除 B、D. $f^{\prime}(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}-\frac{1}{2}＜0$，故 C 错误，A 正确.

7. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益. 假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量$N$（单位：贝克）与时间$t$（单位：天）满足函数关系$N(t)=2^{-\frac{t}{24}}N_{0}$，其中$N_{0}$为$t = 0$时钍234的含量. 已知$t = 24$时，钍234含量的瞬时变化率为$-8\ln2$，则$N(96)=$ （ ）
A. 12贝克
B. $12\ln2$贝克
C. 24贝克
D. $24\ln2$贝克

答案： C 由 $N(t)=2^{-\frac{t}{24}}N_{0}$，得 $N^{\prime}(t)=2^{-\frac{t}{24}}\times N_{0}\times\ln 2\times(-\frac{1}{24})$，当 $t = 24$时，$N^{\prime}(24)=2^{-\frac{24}{24}}\times N_{0}\times\ln 2\times(-\frac{1}{24})=-8\ln 2$，解得 $N_{0}=384$，所以 $N(t)=384\times2^{-\frac{t}{24}}$. 当 $t = 96$时，$N(96)=384\times2^{-\frac{96}{24}}=384\times2^{-4}=24$. 故选 C.

8.（多选）给出定义：若函数$f(x)$在$D$上可导，即$f'(x)$存在，且导函数$f'(x)$在$D$上也可导，则称$f(x)$在$D$上存在二阶导函数，记$f''(x)=[f'(x)]'$，若$f''(x)＜0$在$D$上恒成立，则称$f(x)$在$D$上为凸函数. 以下四个函数在$(0,\frac{\pi}{2})$上是凸函数的是 （ ）
A. $f(x)=\sin x+\cos x$
B. $f(x)=\ln x - 2x$
C. $f(x)=-x^{3}+2x - 1$
D. $f(x)=-xe^{-x}$

答案： ABC 若 $f(x)=\sin x+\cos x$，则 $f^{\prime}(x)=\cos x-\sin x$，则 $f^{\prime\prime}(x)=-\sin x-\cos x$，在 $(0,\frac{\pi}{2})$上恒有 $f^{\prime\prime}(x)＜0$，是凸函数；若 $f(x)=\ln x - 2x$，则 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2$，则 $f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}$，在 $(0,\frac{\pi}{2})$上恒有 $f^{\prime\prime}(x)＜0$，是凸函数；若 $f(x)=-x^{3}+2x - 1$，则 $f^{\prime}(x)=-3x^{2}+2$，则 $f^{\prime\prime}(x)=-6x$，在 $(0,\frac{\pi}{2})$上恒有 $f^{\prime\prime}(x)＜0$，是凸函数；若 $f(x)=-xe^{-x}$，则 $f^{\prime}(x)=(x - 1)e^{-x}$，则 $f^{\prime\prime}(x)=(2 - x)e^{-x}$，在 $(0,\frac{\pi}{2})$上恒有 $f^{\prime\prime}(x)＞0$，不是凸函数. 故选 ABC.

9. 函数$y=(2x + 1)^{5}$的导数是__________.

答案： $y^{\prime}=10(2x + 1)^{4}$
解析 $y^{\prime}=5(2x + 1)^{4}\times2=10(2x + 1)^{4}$.

10.（2024·威海期末）设函数$f(x)$的导数为$f'(x)$，且$f(x)=x^{3}+f'(\frac{2}{3})x^{2}-x$，则$f'(-1)=$________.

答案： 4
解析 因为 $f(x)=x^{3}+f^{\prime}(\frac{2}{3})x^{2}-x$，所以 $f^{\prime}(x)=3x^{2}+2f^{\prime}(\frac{2}{3})x - 1$，所以 $f^{\prime}(\frac{2}{3})=3\times(\frac{2}{3})^{2}+2f^{\prime}(\frac{2}{3})\times\frac{2}{3}-1$，所以 $f^{\prime}(\frac{2}{3})=-1$，所以 $f(x)=x^{3}-x^{2}-x$，所以 $f^{\prime}(x)=3x^{2}-2x - 1$，所以 $f^{\prime}(-1)=3 + 2 - 1 = 4$.

11. 定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x)+f(2 - x)=2022$，$f(x)$的导函数为$f'(x)$，则$f'(-2020)-f'(2022)=$________.

答案： 0
解析 因为 $f(x)+f(2 - x)=2022$，所以对两边同时求导可得 $f^{\prime}(x)-f^{\prime}(2 - x)=0$，故 $f^{\prime}(-2020)-f^{\prime}(2022)=0$.

12. 设函数$f(x)=\cos(\sqrt{3}x+\varphi)(0＜\varphi＜\pi)$，若$f(x)+f'(x)$是奇函数，则$\varphi=$________.

答案： $\frac{\pi}{6}$
解析 由题得 $f^{\prime}(x)=-\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}x+\varphi)$，故 $f(x)+f^{\prime}(x)=\cos(\sqrt{3}x+\varphi)-\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}x+\varphi)=2\sin(\sqrt{3}x+\varphi+\frac{5\pi}{6})$. 若 $f(x)+f^{\prime}(x)$为奇函数，则 $\varphi+\frac{5\pi}{6}=k\pi(k\in\mathbf{Z})$. 又 $\varphi\in(0,\pi)$，$\therefore\varphi=\frac{\pi}{6}$.

13. 求曲线$f(x)=\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}+2^{x}\ln x$在点$(1,0)$处的切线的方程.

答案： 解 $f^{\prime}(x)=\frac{(1 - \sqrt{x})^{\prime}(1 + \sqrt{x})-(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})^{\prime}}{(1 + \sqrt{x})^{2}}+(2^{x})^{\prime}\ln x+2^{x}(\ln x)^{\prime}=\frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}(1 + \sqrt{x})-(1 - \sqrt{x})\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(1 + \sqrt{x})^{2}}+(2^{x}\ln 2)\ln x+\frac{2^{x}}{x}=-\frac{1}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^{2}}+2^{x}\ln 2\ln x+\frac{2^{x}}{x}$.
将 $x = 1$代入 $f^{\prime}(x)$，得所求切线的斜率为 $f^{\prime}(1)=\frac{7}{4}$，所以曲线 $f(x)=\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}+2^{x}\ln x$在点 $(1,0)$处的切线的方程为 $y=\frac{7}{4}(x - 1)$，即 $y=\frac{7}{4}x-\frac{7}{4}$.