《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

10. 比较函数$f(x)=2^{x}$与$g(x)=\frac{1}{2}x - 1$在区间$[a - 1,a](a＜0)$上的平均变化率的大小.

答案： 解　$f(x)=2^{x}$在区间$[a - 1,a](a＜0)$上的平均变化率为$\frac{f(a)-f(a - 1)}{a-(a - 1)}=2^{a}-2^{a - 1}=2^{a - 1}$，$g(x)=\frac{1}{2}x-1$在区间$[a - 1,a](a＜0)$上的平均变化率为$\frac{g(a)-g(a - 1)}{a-(a - 1)}=\frac{1}{2}a-1-[\frac{1}{2}(a - 1)-1]=\frac{1}{2}$。
$\because a＜0$，$\therefore a - 1＜-1$，$\therefore2^{a - 1}＜2^{-1}=\frac{1}{2}$，
$\therefore f(x)=2^{x}$在区间$[a - 1,a](a＜0)$上的平均变化率比$g(x)=\frac{1}{2}x-1$在区间$[a - 1,a](a＜0)$上的平均变化率小。

11. 在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标. 下表是一次降雨过程中记录的降雨量数据：
则下列四个时段中降雨强度最小的是（ ）

A. $0\ min$到$10\ min$
B. $10\ min$到$30\ min$
C. $30\ min$到$50\ min$
D. $50\ min$到$60\ min$

答案： 11.D　$0\min$到$10\min$的降雨强度为$\frac{6 - 0}{10 - 0}=\frac{3}{5}$；
$10\min$到$30\min$的降雨强度为$\frac{18 - 6}{30 - 10}=\frac{3}{5}$；
$30\min$到$50\min$的降雨强度为$\frac{23 - 18}{50 - 30}=\frac{1}{4}$；
$50\min$到$60\min$的降雨强度为$\frac{24 - 23}{60 - 50}=\frac{1}{10}$。
因为$\frac{1}{10}＜\frac{1}{4}＜\frac{3}{5}$，所以四个时段中$50\min$到$60\min$的降雨强度最小。

12. 如图，函数$y = f(x)$在$[x_{1},x_{2}]$，$[x_{2},x_{3}]$，$[x_{3},x_{4}]$这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（ ）

A. $[x_{1},x_{2}]$
B. $[x_{2},x_{3}]$
C. $[x_{3},x_{4}]$
D. 不确定

答案： 12.C　由平均变化率的定义可知，函数$y = f(x)$在区间$[x_{1},x_{2}]$，$[x_{2},x_{3}]$，$[x_{3},x_{4}]$上的平均变化率分别为$\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$，$\frac{f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}$，$\frac{f(x_{4})-f(x_{3})}{x_{4}-x_{3}}$，结合题图可以发现函数$y = f(x)$的平均变化率最大的一个区间是$[x_{3},x_{4}]$。

13. (2023·湖南长郡中学月考)若函数$y = f(x)=2x^{2}+4x$在$x = x_{0}$处的导数是8，则$x_{0}=$_______.

答案： 1
解析：根据导数的定义知，
$f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2(x_{0}+\Delta x)^{2}+4(x_{0}+\Delta x)-(2x_{0}^{2}+4x_{0})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{4x_{0}\cdot\Delta x+2(\Delta x)^{2}+4\Delta x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(4x_{0}+2\Delta x + 4)=4x_{0}+4 = 8$，
解得$x_{0}=1$。

14. 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为$T(t)=\frac{120}{t + 5}+15$，其中$T(t)$为体温（单位：$^{\circ}C$），$t$为太阳落山后的时间（单位：$min$）.
(1)从$t = 0$到$t = 10$，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从$t = 0$到$t = 10$，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(3)求$T'(5)$，并解释它的实际意义.

答案： 解　
(1)在$t = 0$和$t = 10$时，蜥蜴的体温分别为$T(0)=\frac{120}{0 + 5}+15=39$，$T(10)=\frac{120}{10 + 5}+15=23$，$39-23 = 16$，故从$t = 0$到$t = 10$，蜥蜴的体温下降了$16^{\circ}C$。
(2)平均变化率为$\frac{T(10)-T(0)}{10 - 0}=-\frac{16}{10}=-1.6$。
它表示从$t = 0$到$t = 10$，蜥蜴的体温平均每分钟下降$1.6^{\circ}C$。
(3)因为$\frac{\Delta T}{\Delta t}=\frac{T(5+\Delta t)-T(5)}{\Delta t}=\frac{\frac{120}{5+\Delta t + 5}+15-(\frac{120}{5 + 5}+15)}{\Delta t}=-\frac{12}{10+\Delta t}$，
所以由导数的定义，
得$T^{\prime}(5)=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta T}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}(-\frac{12}{10+\Delta t})=-1.2$。
它表示当$t = 5$时，蜥蜴体温的下降速度大约为$1.2^{\circ}C/min$。

15. (新定义题)定义：设二元函数$z = f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$的附近有定义，当$y$固定在$y_{0}$而$x$在$x_{0}$处有改变量$\Delta x$时，相应的二元函数$z = f(x,y)$有改变量$\Delta z = f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})$，如果$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta z}{\Delta x}$存在，那么称此极限为二元函数$z = f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处对$x$的偏导数，记作$f_{x}(x_{0},y_{0})$. 若$z = f(x,y)$在区域$D$内每一个点$(x,y)$对$x$的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于$x,y$的二元函数，它就被称为二元函数$z = f(x,y)$对自变量$x$的偏导函数，记作$f_{x}(x,y)$. 已知$F(x,y)=x^{2}+y^{2}-xy$，若$F(x,y)=1$，则$F_{x}(x,y)+F_{y}(x,y)$的取值范围为（ ）
A. $(-\infty,2]$
B. $[-2,2]$
C. $(0,2]$
D. $[2,+\infty)$

答案： 15.B　依题意，$F_{x}(x,y)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}[\frac{(x+\Delta x)^{2}+y^{2}-(x+\Delta x)y-x^{2}-y^{2}+xy}{\Delta x}]=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(2x - y+\Delta x)=2x - y$，
同理可求得$F_{y}(x,y)=2y - x$，所以$F_{x}(x,y)+F_{y}(x,y)=x + y$，设$m=x + y$，
则$y=-x + m$，由$F(x,y)=x^{2}+y^{2}-xy = 1$，
得$x^{2}+(-x + m)^{2}-x(-x + m)-1 = 0$，
化简得$3x^{2}-3mx+m^{2}-1 = 0$，此方程有解，所以$\Delta=9m^{2}-12(m^{2}-1)=-3m^{2}+12\geqslant0$，即$m^{2}\leqslant4$，$-2\leqslant m\leqslant2$。故选B。

16. (数学运算)已知$f(x)=x^{2}$，$g(x)=x^{3}$，则使$f'(x_{0})+2 = g'(x_{0})$成立的$x_{0}$的值为_______.

答案： $\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}$
解析：由导数的定义知，
$f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x_{0}+\Delta x)^{2}-x_{0}^{2}}{\Delta x}=2x_{0}$，
$g^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x_{0}+\Delta x)^{3}-x_{0}^{3}}{\Delta x}=3x_{0}^{2}$。
因为$f^{\prime}(x_{0})+2 = g^{\prime}(x_{0})$，
所以$2x_{0}+2 = 3x_{0}^{2}$，即$3x_{0}^{2}-2x_{0}-2 = 0$，
解得$x_{0}=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$或$x_{0}=\frac{1+\sqrt{7}}{3}$。