《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1.（2024·河南郑州一中月考）用数学归纳法证明$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}\lt n(n\in\mathbf{N}^{*},n\geqslant2)$时，第一步需要验证的不等式是（ ）
A. $1+\frac{1}{2}\lt2$
B. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\lt2$
C. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\lt3$
D. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\lt3$

答案： B　因为n≥2,所以由数学归纳法可知，第一步需要证明n=2时该不等式成立，所以第一步需要验证的不等式是1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＜2.故选B.

2. 已知$n$为正偶数，用数学归纳法证明$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n}=2(\frac{1}{n + 2}+\frac{1}{n + 4}+\cdots+\frac{1}{2n})$时，若已假设$n = k(k\geqslant2)$为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）
A. $n = k + 1$时等式成立
B. $n = k + 2$时等式成立
C. $n = 2k + 2$时等式成立
D. $n = 2(k + 2)$时等式成立

答案： B　因为已假设n=k(k≥2)为偶数时命题为真,所以n 只能取偶数，故还需要证明n=k+2时等式成立.故选B.

3. 用数学归纳法证明$1 + 2 + 3+\cdots+(2n + 1)=(n + 1)(2n + 1)$时，从“$n = k$”到“$n = k + 1$”，左边需增添的代数式是（ ）
A. $(2k + 1)+(2k + 2)$
B. $(2k - 1)+(2k + 1)$
C. $(2k + 2)+(2k + 3)$
D. $(2k + 2)+(2k + 4)$

答案： 3.C　当n=k时,左边共有(2k+1)个连续的自然数相加,即1+2+3+.….+(2k+1);当n=k+1时,左边共有(2k+3)个连续的自然数相加,即1+2+.….+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).

4. 用数学归纳法证明“$5^{n}-2^{n}$能被3整除”的第二步中，当$n = k + 1$时，为了使用假设，应将$5^{k + 1}-2^{k + 1}$变形为（ ）
A. $5(5^{k}-2^{k})+3\times2^{k}$
B. $(5^{k}-2^{k})+4\times5^{k}-2^{k}$
C. $(5 - 2)(5^{k}-2^{k})$
D. $2(5^{k}-2^{k})-3\times5^{k}$

答案： 4.A　假设当n=k时命题成立,即5−2能被3整除.当n=k+1时,5+¹−2+¹=5×5−2×2=5(5−2)+5×2−2×2=5(5−2)+3×2.故选A.

5. 如果$1\times2\times3+2\times3\times4+3\times4\times5+\cdots+n(n + 1)(n + 2)=\frac{1}{4}n(n + 1)\cdot(n + a)(n + b)$对一切正整数$n$都成立，那么$a$，$b$的值可以为（ ）
A. $a = 1$，$b = 3$
B. $a = - 1$，$b = 1$
C. $a = 1$，$b = 2$
D. $a = 2$，$b = 3$

答案： 5.D　分别令n=1,2,得到关于a,b的方程组{((21++aa))((21++bb))==2120,,解得{ab==23'或{ab==32.,故选D.

6. 用数学归纳法证明不等式$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}\gt\frac{n}{2}-1(n\in\mathbf{N}^{*},n\geqslant2)$时，以下说法正确的是（ ）
A. 第一步应该验证当$n = 1$时不等式成立
B. 从“$n = k$到$n = k + 1$”左边需要增加的代数式是$\frac{1}{2^{k}}$
C. 从“$n = k$到$n = k + 1$”左边需要增加$2^{k}$项
D. 从“$n = k$到$n = k + 1$”左边需要增加的代数式是$\frac{1}{2^{k - 1}+1}+\frac{1}{2^{k - 1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k}}$

答案： 6.D　第一步应该验证当n=2时不等式成立,所以A不正确;因为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+.….+$\frac{1}{2}$−($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+.….+$\frac{1}{2−1}$)=$\frac{1}{2−1+1}$+$\frac{1}{2−1+2}$+.….+$\frac{1}{2}$,所以从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是$\frac{1}{2−1+1}$+$\frac{1}{2−1+2}$+.…,+$\frac{1}{2}$,所以B不正确,D正确;从“n=k到n=k+1”左边需要增加2−¹项,所以C不正确.故选D.

7.（2024·晋城期末）用数学归纳法证明“$S_{n}=\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 2}+\frac{1}{n + 3}+\cdots+\frac{1}{3n + 1}\gt1(n\in\mathbf{N}^{*})$”时，$S_{1}=$__________．（用式子表示）

答案： 7.$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$
　解析
∵当n=1时,n+1=2,3n+1=4,
∴S1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$.

8. 用数学归纳法证明“$1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{n - 1}=2^{n}-1(n\in\mathbf{N}^{*})$”的过程中，第二步假设当$n = k$时等式成立，则当$n = k + 1$时应得到____________________．

答案： 8.1+2+2²+...+2−¹+2=2+¹−1
　解析
∵当n=k时,命题为“1+2+22²+,….+2−¹¹=2声-1",
∴当n=k+1时为使用归纳假设，应写成
　1+2+2²+..+2−¹+2=2−1+2声=2+¹−1,即1+2+2²+,..+2−¹+2=2+¹−1.

9. 证明：当$n\in\mathbf{N}^{*}$时，$f(n)=3^{2n + 2}-8n - 9$能被64整除．

答案： 9.证明　　①当n=1时,f
(1)=3⁴−8−9=64,能被64 整除.
　②假设当n=k(k≥1,k∈N.)时,f(k)=32k+²−8k−9,能被64整除，
则当n=k+1时,f(k+1)=3²(+¹)+²−8(k+1)−9=
　9×3²+²−8k−17=9×(3+²−8k−9)+64k+64,
　故f(k+1)也能被64整除.
　由①②可知,当n∈N.时,f(n)=3²n+²−8n−9能被64整除.