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2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
10. 曲线$f(x)=e^{2x}\cdot\cos 3x$在点$(0,1)$处的切线与直线$l$的距离为$\sqrt{5}$，求直线$l$的方程.
答案：
10.解
∵f'(x)=(e²x)'.cos3x+e².(cos3x),=
2e².cos3x−3e².sin3x,
∴∮'
(0)=2.
∴曲线f(x)=e²r.cos3x在点(0,1)处的切线方程为y−1=2(x−0),即y=2x+1.
由题意知直线l与切线y=2x+1平行，故设满足题意的直线l的方程为y=2x+b(b≠1).
根据题意，得√5=$\frac{|6−11}{\sqrt{5}}$,解得b=6或−4.
∴满足题意的直线l的方程为y=2x+6或y=2x−4.
∵f'(x)=(e²x)'.cos3x+e².(cos3x),=
2e².cos3x−3e².sin3x,
∴∮'
(0)=2.
∴曲线f(x)=e²r.cos3x在点(0,1)处的切线方程为y−1=2(x−0),即y=2x+1.
由题意知直线l与切线y=2x+1平行，故设满足题意的直线l的方程为y=2x+b(b≠1).
根据题意，得√5=$\frac{|6−11}{\sqrt{5}}$,解得b=6或−4.
∴满足题意的直线l的方程为y=2x+6或y=2x−4.
11.（2023·湖南长沙一中调研）若曲线$f(x)=a[\ln(3x)-\frac{1}{x}]-2x$在点$(1,f(1))$处的切线的斜率为 2，则$a=$（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
答案：
11.C 由题得f'(x)=a(3.$\frac{1}{3x}$+$\frac{1}{x?}$)−2=a($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x²}$)−2,由∮'
(1)=a(T1+$\frac{1}{1²}$)−2=2,得a=2.
(1)=a(T1+$\frac{1}{1²}$)−2=2,得a=2.
12.（多选）下列函数求导正确的是（ ）
A. 若$f(x)=\frac{2}{\sqrt{3x + 1}}$，则$f'(x)=-3(3x + 1)^{-\frac{3}{2}}$
B. 若$f(x)=(1 - 2x)^{3}$，则$f'(x)=-6(1 - 2x)^{2}$
C. 若$f(x)=\log_{2}(2x + 1)$，则$f'(x)=\frac{2}{2x + 1}$
D. 若$f(x)=\cos\frac{x}{3}$，则$f'(x)=-\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}$
A. 若$f(x)=\frac{2}{\sqrt{3x + 1}}$，则$f'(x)=-3(3x + 1)^{-\frac{3}{2}}$
B. 若$f(x)=(1 - 2x)^{3}$，则$f'(x)=-6(1 - 2x)^{2}$
C. 若$f(x)=\log_{2}(2x + 1)$，则$f'(x)=\frac{2}{2x + 1}$
D. 若$f(x)=\cos\frac{x}{3}$，则$f'(x)=-\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}$
答案：
12.ABD 对于A,因为f(x)=$\frac{2}{\sqrt{3x+1}}$=2(3x+1)−,所以∮′'(x)=[2(3x+1)−]=−3(3x+1)−,故正确;对于B,因为f(x)=(1−2x)³,所以f'(x)=[(1−2x)²]=−6(1−2x)²,故正确;对于C,因为f(x)=
1og2(2x+1),所以∮'(x)=[1og(2x+1)]'=
$\frac{2}{(2x+1)1n2}$,故错误;对于D,因为f(x)=cos$\frac{x}{3}$,所以f'(x)=(cos$\frac{x}{3}$)'=−$\frac{1}{3}$sin$\frac{x}{3}$,故正确.
1og2(2x+1),所以∮'(x)=[1og(2x+1)]'=
$\frac{2}{(2x+1)1n2}$,故错误;对于D,因为f(x)=cos$\frac{x}{3}$,所以f'(x)=(cos$\frac{x}{3}$)'=−$\frac{1}{3}$sin$\frac{x}{3}$,故正确.
13. 已知函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上满足$f(x)=2f(8 - x)-x^{2}+11x - 18$，则曲线$y = f(x)$在点$(4,f(4))$处的切线方程是__________.
答案：
13.x−y−14=0
解析
∵∮(x)=2f(8−x)−x²+11x−18,
∴令x=4,得f
(4)=2f
(4)−16+44−18,
∴f
(4)=−10.
又f'(x)=−2∮'(8−x)−2x+11,
∴令x=4,得f'
(4)=1,
∴切线方程为y−(−10)=x−4,即x−y−14=0.
解析
∵∮(x)=2f(8−x)−x²+11x−18,
∴令x=4,得f
(4)=2f
(4)−16+44−18,
∴f
(4)=−10.
又f'(x)=−2∮'(8−x)−2x+11,
∴令x=4,得f'
(4)=1,
∴切线方程为y−(−10)=x−4,即x−y−14=0.
14. 若直线$y = kx + b$是曲线$y = \ln x + 2$的切线，也是曲线$y = \ln(x + 1)$的切线，求$b$的值.
答案：
14.解 设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2和y=1n(x+1)的切点分别为(x1,1nx+2)和(x2,1n(x2+1)),
则切线分别为y−1nx−2=$\frac{1}{x,}$(x−x),
y−1n(x2+1)=$\frac{1}{x2+1}$(x−x2),
化简得y=$\frac{1}{x,}$x+1nx1+1,
y=$\frac{1}{x2+1}$.x−$\frac{x2}{x2+1}$+1n(x2+1),
$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x+1}$,
依题意，得
1nx1+1=−$\frac{x2}{x+1}$+1n(x2+1),
{
解得x1=$\frac{1}{2}$,从而b=1nx1+1=1−1n2.
则切线分别为y−1nx−2=$\frac{1}{x,}$(x−x),
y−1n(x2+1)=$\frac{1}{x2+1}$(x−x2),
化简得y=$\frac{1}{x,}$x+1nx1+1,
y=$\frac{1}{x2+1}$.x−$\frac{x2}{x2+1}$+1n(x2+1),
$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x+1}$,
依题意，得
1nx1+1=−$\frac{x2}{x+1}$+1n(x2+1),
{
解得x1=$\frac{1}{2}$,从而b=1nx1+1=1−1n2.
15.（逻辑推理）设$a\in\mathbf{R}$，函数$f(x)=e^{x}+ae^{-x}$的导函数是$f'(x)$，且$f'(x)$是奇函数. 若曲线$y = f(x)$的一条切线的斜率是$\frac{3}{2}$，则切点的横坐标为（ ）
A. $\ln 2$
B. $-\ln 2$
C. $\frac{\ln 2}{2}$
D. $-\frac{\ln 2}{2}$
A. $\ln 2$
B. $-\ln 2$
C. $\frac{\ln 2}{2}$
D. $-\frac{\ln 2}{2}$
答案：
15.A 对f(x)=e²+aeZ求导,得∮'(x)=e²−aex.又f'(x)是奇函数,故f'
(0)=1−a=0,解得α=1,故f¹(x)=e²一ex.设切点坐标为(x。,y。),则f'(x。)=
ex⁰−e−0=$\frac{3}{2}$,解得e²°=2或e°=−$\frac{1}{2}$(舍去),得x。=1n2.故选A.
(0)=1−a=0,解得α=1,故f¹(x)=e²一ex.设切点坐标为(x。,y。),则f'(x。)=
ex⁰−e−0=$\frac{3}{2}$,解得e²°=2或e°=−$\frac{1}{2}$(舍去),得x。=1n2.故选A.
16.（开放题）请你写出与曲线$f(x)=e^{2x}-1$在$(0,0)$处具有相同切线的一个函数：__________.
答案：
16.g(x)=x²+2x(答案不唯一)
解析 由题得f'(x)=2e²,故∮'
(0)=2e°=2,故曲线f(x)=e²−1在原点(0,0)处的切线方程为y=2x,故可考虑函数g(x)=ax²²+bx,此时g'(x)=2ax+b,故g’
(0)=b=2,取a=1,此时g(x)=x²+2x.
解析 由题得f'(x)=2e²,故∮'
(0)=2e°=2,故曲线f(x)=e²−1在原点(0,0)处的切线方程为y=2x,故可考虑函数g(x)=ax²²+bx,此时g'(x)=2ax+b,故g’
(0)=b=2,取a=1,此时g(x)=x²+2x.
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