《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第二册》

1.（多选）（2024·温州期末）下列求导运算正确的是 （ ）
A. $(x^{2}-\ln x)' = 2x-\frac{1}{x}$
B. $(e^{x}+\ln 3)' = e^{x}+\frac{1}{3}$
C. $(x\cdot 3^{x})' = x\cdot 3^{x}\ln 3 + 3^{x}$
D. $(\frac{\sin x}{x})' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^{2}}$

答案： ACD 根据导数的四则运算法则和常用函数导数公式知$(\ln 3)' = 0$，故 B 不正确. 易知 A、C、D 正确.

2.（2023·济南一中月考）若$f(x)=2xf'(1)+x^{3}$，则$f'(2)$等于 （ ）
A. -3
B. 0
C. -6
D. 6

答案： D $\because f'(x)=2f'(1)+3x^{2}$，$\therefore f'(1)=2f'(1)+3$，$\therefore f'(1)= - 3$，$\therefore f'(x)= - 6 + 3x^{2}$，$\therefore f'(2)=6$. 故选 D.

3.曲线$f(x)=e^{x}+2x - 1$在点$(0,0)$处的切线的方程为 （ ）
A. $y = x$
B. $y = 3x$
C. $y = 0$
D. $y = 4x$

答案： B 由题意可得$f'(x)=e^{x}+2$，$\therefore f'(0)=3$，即$k = 3$，$\therefore$切线方程为$y = 3x$. 故选 B.

4.（多选）设函数$f(x)=\frac{1}{2}(\sin x - \cos x)$的导函数为$f'(x)$，则 （ ）
A. $f'(x)+f(x)=\sin x$
B. $f'(x)+f(x)=\cos x$
C. $f'(x)-f(x)=\sin x$
D. $f'(x)-f(x)=\cos x$

答案： AD 易得$f'(x)=\frac{1}{2}(\cos x+\sin x)$，所以$f'(x)+f(x)=\sin x$，$f'(x)-f(x)=\cos x$，故选 AD.

5.已知函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}-ax^{2}$，若曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与直线$2x - y + 1 = 0$平行，则$a =$ （ ）
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

答案： A 函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}-ax^{2}$的导函数$f'(x)=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}-2ax$，可得曲线$y = f(x)$在$(1,f(1))$处的切线的斜率$k = f'(1)=1 - 2a$，由切线与直线$2x - y + 1 = 0$平行，可得$1 - 2a = 2$，解得$a=-\frac{1}{2}$. 故选 A.

6.已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度$h$（单位：cm）与时间$t$（单位：s）的函数关系式为$h=\frac{1}{3}t^{3}+t^{2}$，当$t = t_{0}$时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当$t = t_{0}+1$时，液体上升高度的瞬时变化率为 （ ）
A. 5 cm/s
B. 6 cm/s
C. 8 cm/s
D. 10 cm/s

答案： C 由$h=\frac{1}{3}t^{3}+t^{2}$，求导得$h'=t^{2}+2t$. 当$t = t_{0}$时，$h'=t_{0}^{2}+2t_{0}=3$，解得$t_{0}=1(t_{0}=-3$舍去$)$. 故当$t = t_{0}+1 = 2$时，液体上升高度的瞬时变化率为$2^{2}+2\times2 = 8\ cm/s$. 故选 C.

7.设函数$f(x)=\frac{c}{x + a}$，若$f'(1)=\frac{c}{4}$，则$a$的取值范围为________.

答案： $a\neq - 1$
解析 $f'(x)=-\frac{c}{(x + a)^{2}}$，则$f'(1)=-\frac{c}{(1 + a)^{2}}=\frac{c}{4}$，当$c = 0$时，$a\neq - 1$；当$c\neq0$时，$(1 + a)^{2}=-4$，无解. 综上，$a\neq - 1$.

8.函数$f(x)=\frac{x + 1}{x}+2\ln x$的图象在点$(1,f(1))$处的切线方程为____________.

答案： $x - y + 1 = 0$
解析 由$f(x)=\frac{x + 1}{x}+2\ln x$，得$f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}$，所以切线的斜率为$f'(1)= - 1 + 2 = 1$，又$f(1)=2+2\ln1 = 2$，所以切线方程为$y - 2 = x - 1$，即$x - y + 1 = 0$.

9.求下列函数的导数：
（1）$y=\sin^{4}\frac{x}{4}+\cos^{4}\frac{x}{4}$；
（2）$y = (\sqrt{x}-2)^{2}$.

答案： 解
(1)$y = (\sin^{2}\frac{x}{4}+\cos^{2}\frac{x}{4})^{2}-2\sin^{2}\frac{x}{4}\cdot\cos^{2}\frac{x}{4}=1-\frac{1}{2}\sin^{2}\frac{x}{2}=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1 - \cos x}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos x$，$\therefore y'=(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos x)'=-\frac{1}{4}\sin x$.
(2)$\because y = (\sqrt{x}-2)^{2}=x - 4\sqrt{x}+4$，$\therefore y'=x'-(4\sqrt{x})'+4'=1 - 4\times\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=1 - 2x^{-\frac{1}{2}}$.